どうやってすべきなのかもサッパリ…

質問

大学で数学的な問題が出たのですが、
さっぱり解き方が分からないのでアドバイスを
いただければと思い、書き込みました。
解法だけでも教えていただければありがたいです。

トンネルの中の蛍光灯を取り替える。
蛍光灯が切れるたびに取り替える「個別取替え」と
一定期間で取り替える「一斉取替え」を比較し
どちらが有利なのかを検討せよ。

<蛍光灯の寿命(確率)>
1年以下=0.2　1～2年=0.3　2～3年=0.3　3～4年=0.2
<蛍光灯の価格>　2000円/本
<取替え費用>（個別）700円/本　（一斉）　300円/本
<蛍光灯切れによる損失>　10000円/本

こんな問題です。僕はこれを
n本あるとすると
（個別）12700n円
（一斉）1年周期の場合　
（0.2n×12700+2300n）×4=19260n　で個別が有利

〔ちなみに最後の4は必ず4年で壊れることから4年スパンで考えたと言う意味でかけてあります〕

同様に2年周期でも3年周期でも個別が有利と出て
ただ、当たり前と言えばそれで終わってしまう問題で
自信が無いのです。皆様の意見や解法をご存知ならば
それを聞かせていただければとてもありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.7

es32 · ベストアンサー

ちょっと違っていたようなので。

切れる本数は、

１年目
0～1年目で切れる本数　0.2000ｎ
同年に２回目以上本数　0.0231ｎ
＊＊＊＊＊＊＊＊合計　0.2231ｎ

２年目
0～1年目で切れる本数　0.0200ｎ
1～2年目で切れる本数　0.3068ｎ
同年に２回目以上本数　0.0377ｎ
＊＊＊＊＊＊＊＊合計　0.3645ｎ

３年目
0～1年目で切れる本数　0.0327ｎ
1～2年目で切れる本数　0.0830ｎ
2～3年目で切れる本数　0.3559ｎ
同年に２回目以上本数　0.0544ｎ
＊＊＊＊＊＊＊＊合計　0.5260ｎ

約１７年後収束値
0～1年目で切れる本数　0.0448ｎ
1～2年目で切れる本数　0.1376ｎ
2～3年目で切れる本数　0.1596ｎ
3～4年目で切れる本数　0.1064ｎ
同年に２回目以上本数　0.0517ｎ
＊＊＊＊＊＊＊＊合計　0.5000ｎ

よって、個別の場合（１年当たり）
　収束値より
　12700×0.50ｎ＝6350ｎ円

一斉の場合（１年周期・１年当たり）
　0.2231ｎ×12700＋2300ｎ＝5133ｎ円

一斉の場合（２年周期・１年当たり）
　｛（0.2231＋0.3645）×ｎ×12700＋2300ｎ｝／2＝4881ｎ円

一斉の場合（３年周期・１年当たり）
　｛（0.2231＋0.3645＋0.5260）×ｎ×12700＋2300ｎ｝／3＝5481ｎ円

お礼

無理を言って申し訳ありませんでした。
とても参考になりました。
これをもとに、再考・熟孝したいと思います。
ありがとうございました。

回答No.6

es32

No.4ですが、補足です。

蛍光灯切れによる損失とは、

トンネルが暗くなったことに起因する交通事故による経済的損失と苦情処理のための人件費ですよね。

やはり２週間くらいが限度ですかね。

回答No.5

kgu-2

個別取替えだと、蛍光灯が切れたかどうかの点検が必要です。この費用を加える必要があります。また、点検時には替わりの蛍光灯を用意せねばならないし、トンネルだと、もしも手が届かない高さなら、梯子か最悪の場合はしご車を準備せねばなりません。
　また、切れてから蛍光灯を取り替えるまで利用者は『トンネルは暗い』と、有料道路なら苦情がくるかも。このマイナスも計算に入れる必要があるのでは。

　単に蛍光灯の交換だけなら、一斉取替えだと、まだ使用できるものを捨てるのですから、こんな不経済なことはありません。問題にもならないのでは。

お礼

確かにそうなんですよね。
でも、その問題文には書いてないので考えないほうが良いと思っております。

ご意見ありがとうございました。

回答No.4

es32

問題文に不備がありそうです。、

まず、「一斉」とはどういう意味か？
２つが考えられます。

１．
一定期間毎に切れていないものまで全部一斉に取り替えること。
この場合は取り替える本数の少ない「個別」が安いことは明らか。

２．
一定期間の間に切れたものだけを一斉に取り替えること。

１では問題にならないので、これは２であると仮定します。

次に、
蛍光灯切れによる損失とは、放置した場合（一斉の場合だけ）に生じるということではないでしょうか？
そのように仮定し、
１年間に切れる本数をｎ本とすると、１年当たりでは

個別の場合　交換 2700ｎ円
一斉の場合　交換 2300ｎ円 ＋ 損失 10000ｎ円

これでもまだ問題にならないほど明らかです。

蛍光灯切れによる損失の単位は［円/本］ではなく［円/本・年］ではないでしょうか？
そうすれば、問題になりそうです。

個別の場合　交換 2700ｎ円
一斉の場合　交換 2300ｎ円 ＋ 損失 10000ｎ円×放置された年数ｍ

これを解いて、
ｍ＝0.04年（＝14.6日）以下ならば一斉の方が安い。

ならば、例えば
２週間に１回でいかがでしょうか？
本数の目安は1000本中、２週間に１回で19本になります。
（平均寿命は計算より2.0年）

こんなんでどうでしょう？

補足

一番詳しく教えていただきありがとうございます。
僕のほうに完全に不手際がありまして
「一斉取替え」でも、切れた蛍光灯はそのたびに取り替えると言う重要な文章を見落としていました。

こんなことを言うのは自分のことしか考えていない
と言われるのを承知でお聞きいたします。
この条件を加えたとしても、やはり一斉が安いのでしょうか？

僕もこれで計算しているのですがどうも途中で森に迷い込んでしまっています。
もしよければでいいので、お願いいたします。

とにかく、本当にありがとうございました。

回答No.3

nabeyann

＞<蛍光灯切れによる損失>　10000円/本
これの意味がわかりません、
　　　切れた瞬間に発生する費用なのか？。
切れた瞬間のみに発生する損失で、その他の損失が発生しなければ、交換しないで置けば、
４年間で　ｎ万円の損失だけで済みますね。
必ず交換しなければならないとします。

個別交換のときの各年の交換本数
1年目0.2n
2年目（0.3+0.2＾２）ｎ　・・・　一年目に交換した物が交換される確立を計算してください
３年目（0.3+0.3*0.２+0.2*0.3）ｎ
４年目（0.2+0.3*0.2+0.3*0.3+0.2*0.3）ｎ
合計して、取替費用２７００円＋損失10000　を掛ける

一年周期で取りかえる場合のみ・・・２割ぐらい切れていても支障無ければ！
0.2ｎ・・・　発生する損失　0.2*ｎ万円？これで好いのか！
　ｎ・・・一斉取替え本数×２３００円
　　４年間で比べるから４倍する

個別交換と一年周期で取りかえる場合組み合わせ
0.2ｎ・・・個別取替え本数×２７００円
　ｎ・・・一斉取替え本数×２３００円
　　0.2ｎ・・・　発生する損失　0.2*ｎ万円
４年間で比べるから４倍する

個別交換と合組み合わせ
２年周期の場合２年間で
（0.2+0.3+0.2*0.2）ｎ個切れます。×２７００円
　ｎ・・・一斉取替え本数×２３００円
発生する損失（0.2+0.3+0.2*0.2）ｎ万円
　４年間で比べるから２倍する

３年周期の場合4年間で
｛0.2+（0.3+0.2＾２）+（0.3+0.3*0.２+0.2*0.3）｝ｎ個+0.2n個、切れます×２７００円
　ｎ・・・一斉取替え本数×２３００円
発生する損失
［｛0.2+（0.3+0.2＾２）+（0.3+0.3*0.２+0.2*0.3）｝ｎ+0.2n］　万円

それぞれ計算して、比べて見て下さい。
すでに交換したのを、一斉交換で取り替えない場合も、計算して比べ成らないじゃ？

お礼

ごめんなさい、すこし言葉足らずでしたね。
一斉でも切れるとそのたびに新しい蛍光灯に個別で取り替えなければならないとかいてありました…。

そのことを踏まえたとしても、
僕の回答だと計算にスキがあったということですね。
もう一回熟考してみます。
ありがとうございました。

回答No.2

neue_reich

まず、蛍光灯切れによる損失というのは、切れた時点で
発生し、以後は増加しないと仮定させていただきます。

とすると、
１年後の状態は
一斉（４年ごと交換）の場合、
0.2n本が寿命を迎えていますので損失は2000n円となります。
個別でかかる費用は(2000+700)*0.2n円です。

２年後の状態は
一斉の場合
前年の損失（2000n円）＋今年の損失3000n円＝5000n円。
個別でかかる費用は
２年目に壊れた分0.3n本＋１年目に代えたもので壊れたもの0.04n本の
交換なので、(2000+700)*0.34n円です。
（よって、２年目までの費用は2700*0.54n円）

３年後の状態は
一斉の場合
前年までの損失（5000n円）＋今年の損失3000n円＝8000n円
個別でかかる費用は
３年目に壊れた分0.3n本＋
１年目に交換した分が壊れた（２年目にあたる）分0.06n本＋
２年目に交換した0.04本のうち１年で壊れたもの0.008n本＋
２年目に交換した分が壊れた（１年目にあたる）分0.06n本
で2700*0.428n円
（よって、３年目までの費用は2700*0.968n円）

４年後の状態は
一斉の場合
前年までの損失8000n円＋交換費用2300n円＝10300n円
個別の場合は
４年目に交換した分0.2n本＋……

…ということで、
個別交換をしていくと、だんだん１年あたりの交換本数が
増えるのがわかると思います。
ちゃんと計算すれば出るのでしょうが、ちょっとそこまでは
気力がないので勘弁してください。

お礼

個別交換していくと、確かに交換本数が増えていってますね…。
ここまで計算していただいただけでありがたいです。
ありがとうございました。

回答No.1

he-goshite-

回答にはなっていません。気づいたことだけです。

あるとき，いっせいに新規に蛍光灯を取り付けたとします。このときを０年として年数を数えます。

個別取替えの場合：
１年目で取り替える本数＝ｎ*0.2
費用＝12700*ｎ*0.2

２年目で取り替える本数
＝ｎ*0.2*0.2　・・・（１年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.3　　・・・（今年初めて交換する分）
＝ｎ*0.34
費用＝12700*ｎ*0.34

３年目で取り替える本数
＝ｎ*0.2*0.2*0.2　・（１年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.2*0.3　・・（１年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.3*0.2　・・（２年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.3　・・・（今年初めて交換する分）
＝ｎ*0.428
費用＝12700*ｎ*0.428

４年目で取り替える本数
＝ｎ*0.2*0.2*0.2*0.2　（１年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.2*0.2*0.3　・（１年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.2*0.3*0.2　・（１年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.3*0.2*0.2　・・（２年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.3*0.3　・・（２年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.3*0.2　・・（３年目で交換した蛍光灯分）
　＋ｎ*0.2　・・・（今年初めて交換する分）
＝ｎ*0.3876
費用＝12700*ｎ*0.3876

以後も同様に続くので，さらに計算が必要なのではないでしょうか？

お礼

なるほど、やはりこのように取り替えた蛍光灯も
考えないといけないんですよね…。
参考になりました、ありがとうございました。