テイラー展開の問題、1番は大丈夫です、2番はよくわからない。よろしくお

質問

テイラー展開の問題、1番は大丈夫です、2番はよくわからない。よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(2)

(1)より
sin(x)=x-(1/6)x^3+…≒x-(1/6)x^3
なので

lim[x→0] 1/sin^2(x) - 1/x^2
=lim[x→0] 1/{x-(1/6)x^3}^2 - 1/x^2
=lim[x→0] 1/[x^2 {1-(1/3)x^2+(1/36)x^4}] - 1/x^2
=lim[x→0] (1/x^2)[1/{1-(1/3)x^2+(1/36)x^4} - 1]
=lim[x→0] (1/x^2){36/(36-12x^2+x^4) - 1}
=lim[x→0] (1/x^2)(x^2)(12-x^2)/(36-12x^2+x^4)
=lim[x→0] (12-x^2)/(6-x^2)^2

後は出来ますね。

お礼

ご回答ありがとうございました

回答No.4

alice_44

No.3 後半の式の 1 行目から 2 行目への変形が、
この問題のボイント。
2 行目以降は、自明な後始末に過ぎない。
lim[x→0] 1/xの2乗 が収束しないことを
どうかわすか？が答案の中核だ。
そこをスルーしたのでは、考察したことには
ならない。

お礼

いつもありがとうございます

回答No.2

alice_44

1/(sin x)^2 に sin x のテイラー近似を代入したら、
次に、1/z^2 のテイラー展開を考えることで、
微小項を分子へ持ってくることができる。
同時に、1/x^2 も相殺できるし。
何を z と置けばよいか、考えてみよう。

回答No.1

Tacosan

「よくわからない」じゃなくて, 「どこまでわかって何がわからないのか」を書くこと.
1 を代入して計算するだけ.