テーラー展開教えてください

質問

テーラー展開の問題を教えてください。

大学の次の問題がわかりません。

1/(1-z)=Σ(k=0 => inf)z^k (|z|<1) を用いて次の関数をz=0を中心にテーラー展開すること

(1) 1/(1-z)^2 =

(2) Log(1+z) =

できるだけ詳しく教えていただけると助かります。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
1/(1-z)=Σ(k=0,inf) z^k (|z|<1)
両辺をz微分
1/(1-z)^2=Σ(k=0,inf) kz^(k-1) (|z|<1)

(2)
1/(1-w)=Σ(k=0,inf) w^k (|w|<1)
両辺をwで0からz(|z|<1)まで積分
-log(1-z)=Σ(k=0,inf) z^(k+1)/(k+1) (|z|<1)
log(1-z)=Σ(k=0,inf) -z^(k+1)/(k+1) (|z|<1)
zを-zと置き換えて
log(1+z)=Σ(k=0,inf) -((-z)^(k+1))/(k+1) (|-z|<1)
=Σ(k=0,inf) ((-1)^k)(z^(k+1))/(k+1) (|z|<1)

お礼

ありがとうございます!
とても分かりやすくて良かったです。

回答No.1

WiredLogic

1/(1-z) = 1 + z + z^2 + z^3 ＋ … を使う訳ですよね。

(1) の方は、２つ考え方があり、

1/(1-z)^2 = 1/(1 - 2z + z^2) = 1/{1 - (2z-z^2)} だから、
上の式のzに当たるのが、下の式の(2z-z^2)、なので、

1/(1-z)^2 = 1 + (2z-z^2) + (2z-z^2)^2 + (z-z^2)^3 + …
のようにして、

または、

1/(1-z)^2 = {1/(1-z)}^2 = (1 + z + z^2 + …)^2
と考えて、展開すると、各項の２乗の部分、
1 + z^2 + z^4 + z^6 + … と、
２つの項をかけて２倍した項の部分、
2*1*z + 2*1*z^2 + 2*1*z^3 + …
+ 2*z*z^2 + 2*z*z^3 + …
+ 2*z^2*z^3 + …
+ … を合計したものになる、
と考えて出すか、ということになります。

上の方が、適当な次数まで出すには、便利かな？

(2) の方は、

(log(1+z))' = 1/(1+z) (|z|＜1 だから、絶対値不要)
= 1/{1-(-z)} = 1 + (-z) + (-z)^2 + (-z)^3 + …
= 1 - z + z^2 - z^3 - z^4 + z^5 + …

すると、log(1+z) = ∫(1-z+z^2-z^3+…)dz と
考えられますが、こうすると、積分定数どうする
というのが、問題になるので、
log(1+z) = ∫[0,z](1-t+t^2-t^3+…)dt とやれば、
(定積分だと、積分定数を気にしなくていいし、
log(1+0) = 0だから、定積分の積分範囲を[0,z]にすれば、
∫[0,0]～dt = 0なので、ちょうど都合がいい)

log(1+z) = [t - t^2/2 + t^3/3 - t^4/4 + …]_[0,z]
= z - z^2/2 + z^3/3 - z^4/4 + …
という具合にできます。

お礼

ありがとうございました!やってみます。