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微積分で解く問題だと思いますが、次の問題の解法が分かりません。
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>|PQ|が一定であるような曲線の式を求めよ この一定の値(PQの長さ)をk(>0)とおくと P(a,f(a)) 接線:y=f'(a)(x-a)+f(a) Qのx座標はy=0とおけば求まり x=a-f(a)/f'(a) Q(a-f(a)/f(a),0) 三平方の定理より PQ^2=(f(a)/f'(a))^2+(f(a))^2=k^2 P点(x,y)の軌跡の曲線は a→x,f(a)→yとおいた微分方程式 (y/y')^2+y^2=k^2 …(1) を解けば得られる。 (1)からy'を求めると y'=±y^2/√(k^2-y^2) (|y|<k) これは1次の非線形常微分方程式である。 これを解くと ±dx=(k^2-y^2)^(1/2)/y^2dy c±x=-arctan(y/√(k^2-y^2) -(1/y)√(k^2-y^2) c±x+arctan(y/√(k^2-y^2) +(1/y)√(k^2-y^2)=0 (|y|<k) …(★) これが求める曲線の陰関数表現の方程式である。 ここで、cは任意定数である。 cを変化させるとx軸方向に曲線が平行移動するだけで P点の軌跡の曲線の形状は変らない。 x=g(x)の形式での曲線の陽関数表現には簡単に表せるが、 y=f(x)の形式の曲線の陽関数表現に直すことは難しいだろう。 (★)の曲線をプロットして図示して添付しておく。 (図はk=2,c=0とした場合)
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訂正。y軸でなくx軸か。 そうするとQ(a-f(a)/f'(a),0) |PQ|^2=(f(a))^2(1+(1/f'(a))^2)=K f'(a)=±f(a)/√(K-(f(a))^2) さあこれを解け
P(a,f(a)),Pでの接線方程式はy=f'(a)(x-a)+f(a)より Q(0,f(a)-af'(a))である。 |PQ|^2=a^2(1+(f'(a))^2)=K(定数)とすると f'(a)=±√(K-a^2)/aを満たす。 さあこれを解け。
- w_letter
- ベストアンサー率13% (199/1496)
曲線は、y=f(x)であらわされます。 接線の傾きは、微分で得られます。 点Qの座標は(b,0)です。 bは、接線の傾きによって変化します。 線分PQは、点P(α,f(α))と、点(b,0)の距離です。 これらから、線分PQを一定とする条件下で、 微分方程式を立てて、計算してください。 あとは、がんばってください。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
問題文中に「曲線上の点P(α,f(α))」と 書いてあるのだから、単純に y=f(x) と表せる曲線を想定してよい んじゃないですかね。 …そういう御気楽は言わないとしても、 x=一定 という曲線(直線)が条件を満たさない ことは明らかですから、解は、接点の近所傍では y=f(x) と表されます。 普通に微分方程式を立てて、 解くときに、解が一意な関数になるかどうか 注意すればよい。
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