1/1-xの微分について質問です。

質問

1/1-xの微分について質問です。
(1-x)^-1にしてから微分をするということはわかったのですがどうしても答えが1/-(1-x)^2になってしまいます。
本当の答えは1/(1-x)^2なのですがマイナスはどうしてきえてしまっているのですか？
あまり数学が得意ではないのでなるべく詳しく過程を説明してくださるとうれしいです。

回答No.4

noname#121811 · ベストアンサー

＃１です。補足します。
1-xを掛けるのではなく、(1-x)’つまり1-xを微分したものを掛けます。
理由は回答＃３の通りです。

あたかも(1-x)を一固まりであるかのように微分し、さらに1-xを微分したものを掛けます。

お礼

補足の方ありがとうございます。おかげで解決いたしました。また中身微分、形式微分など新しい単語をご教授くださり感謝しています。

回答No.5

Mr_Holland

1/(1-x)　を次のように変形してから微分してみてください。
　　1/(1-x) = -1/(x-1) = -(x-1)^(-1)

　すると、次のようになり　マイナスが消えていると思います。
　　1/(1-x)の微分 = -(x-1)^(-1)の微分 = -(-1)(x-1)^(-2) = +1/(x-1)^2 = +1/(1-x)^2

　この微分は質問者さんも同じ結果が導かれると思います。
　では　なぜ　1/(1-x)　で微分したときと　-1/(x-1)と変形してから微分したときでは　結果が異なるのか。
　その理由は　前の回答者さんたちが示されているように　合成関数の微分（または分数関数の微分）の考え方を忘れてしまったからです。
　合成関数の微分（または分数関数の微分）では、＜ひとまとまりとして考えているもの＞の微分を掛けなければなりません。

　　この＜ひとまとまりとして考えているもの＞は　1/(1-x)　で微分するときは　(1-x) です。従って、-1 を掛けなければなりません。
　　また、-1/(x-1)　で微分するときは　(x-1) です。従って、+1 を掛けなければなりません。

　質問者さんの方法では、この　-1 を掛けられていないので　結果の符号が逆になってしまったわけです。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。おかげで解決いたしました。また合成関数の微分について詳しく教えてくださりありがとうございます。

回答No.3

Rice-Etude

過去の知識を思い返してなので、かなりいい加減ではありますが...

y=f(x)という関数がある時、微分した導関数は
f'(x)=dy/dx
と書けます。

ここで、xが入った式をtに置き換え（a)、それにしたがってf(x)をtで置き換えられた(b)とします。その時、y=f(x)の導関数は
f'(x)=(dy/dt)×(dt/dx) ←(c)
となるという公式があります。

＃本当はこれがなんで成り立つかをちゃんと証明しないといけないのですが、数学が得意ではないとのことですので、ここでは「導関数とはこういうものだ」と思って下さい。

ここで問題の式の
1/(1-x)
=(1-x)^(-1)
を見て、まず
t=1-x ←(a)
と置きます。そうすると
y=f(x)
=1/t=t^(-1) ←(b)
となります。
これを踏まえて導関数を求めると、まず(c)の前半(dy/dt)は
y=t^(-1)
をtで微分することを意味するので
dy/dt=-t^(-2)
となります。次に(c)の後半(dt/dx)は
t=1-x
をxで微分することを意味するので
dt/dx=-1
となります。
あとは(c)の公式に従って
f'(x)=(dy/dt)×(dt/dx)
=-t^(-2)×(-1)
=t^(-2)
=(1-x)^(-2) ※tをxに再変換する
となります。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。おかげで解決いたしました。詳しい説明でとてもわかりやすかったです。

回答No.2

noname#157574

関数の商の導関数　(f/g)'＝(f'g－fg')/g^2
本問の場合，f(x)＝1，g(x)＝1－x

お礼

ご回答の方ありがとうございます。おかげで解決いたしました。

回答No.1

noname#121811

{(1-x)^-1}'
=-1*(1-x)^-2 *(1-x)' 前半を形式微分　後半を中身微分という

中身微分が抜けていたのだと思います。

お礼

早いご返答ありがとうございます。
まことに基礎の質問ですがなぜ(1-x)をまたかけなくてはいけないのですか？