証明って…

質問

こんばんは。りちゅと申します。
高校２年生の数学Ｂ（(2)？）の証明問題なのですが，
補習の課題であまり時間がありません。
証明かなり苦手なので，どなたかお助け下さい(>_<)

問題
０＜ａ，０＜ｂのとき，√ａ＋√ｂ≧√(ａ＋ｂ)を証明せよ。
また，等号はどんなときに成り立つか。

です。
直角三角形を使うと当たり前な気もするのですが，
やっぱり相加相乗平均を使うんですよね？
定理と違う形のせいか，イマイチ突破口が見えません。
助言お願い致しますm(_ _)m

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

問題文に間違いなければ，相加・相乗平均の不等式も数学Bの知識も要らないようです。

証明すべき不等式の両辺はともに正の数なので，平方の差を考えて，

(√a＋√b)^2 - (a+b)
= a+b+2√(ab) - (a+b)
= 2√(ab) ≧ 0
より

(√a＋√b)^2 ≧ a+b

a+b>0 より

√a＋√b ≧ √(a+b)

a>0，b>0 より √(ab) >0 ですから，
√a＋√b = √(a+b) は成り立ちません。

まさか１年生の復習問題が出るとは思わなかったのか，難しく考えすぎたようです。
等号成立条件をわざわざ尋ねているのに，「なし」が正解というのは，少しいじわるですね。

お礼

お返事ありがとうございます！
なんと，等号成立なしとは…
相加相乗にとらわれ過ぎたみたいですね(^^;
よくわかりました。
ありがとうございました！

回答No.2

nikorin

難しく考えすぎではないですか？
a>0,b>0ですから、両辺とも正の値をとるので各々を二乗して比較しても問題ありません。
(左辺)^2＝a+b+2√(ab),
(右辺)^2=a+b
ですから、(左辺)^2-(右辺)^2=2√(ab)＞0
で、(左辺)＞(右辺)が示されました。
等号が成り立つのは√(ab)=0のとき、すなわちaまたはbが0の時です。
が、問題ではa>0,b>0なので、この条件下で等号が成り立つことはありません。

お礼

お返事ありがとうございます！
やはりちょっとひねって考えすぎたみたいです(^^;
お恥ずかしい…。

あ，今思ったのですが，
条件はもしかしたら0≦a，0≦bだったかもしれません。
それなら等号は成立しますよね。
いい加減でごめんなさいm(_ _)m

ありがとうございました。