積分曲線上でdVが一定？

質問

積分曲線上でdVが一定？

Mをリーマン多様体,VをM上の関数,XをMのベクトル場,Xの積分曲線をr(t)で表すとする.
いま、X[V]=0という条件が与えられているとすると、dV(r(t))はtによらない１形式に
なるらしいのですが、何故そうなるのかよくわかりません。条件よりV(r(t))=constになる
ことはすぐわかるのですが・・・。基本的な質問かとおもいますがどなたかよろしくお願い
します。

回答No.3

grothendieck

Vの等高線をr(t)として（t は弧長パラメータ）X=dr/dt とすれば等高線上でX[V]=0 。すべての等高線についてX をこのように定義すればすべての点で X[V]=0。
『無』という深遠な回答が多数寄せられているのですからもう十分でしょう。

回答No.2

grothendieck

すでに authority から深遠でハイレベルな回答が多数寄せられていますので、私ごときものが回答する必要はないと思います。しかし専門家のtechnical termは非常に難解です。なにしろ「白色矮星ではパウリの他排律が破れて全ての電子が１ｓ軌道に落ち込みます。」という文を一般人でも分かるように書き直すと「パウリ排他律のため一つの軌道に一つの電子しか入ることができず縮退圧が生じます」になるというくらいですから。
http://okwave.jp/qa/q5122548.html
そのため解説しましょう。
　テンソルのある曲線に沿った変化はリー微分でわかります。dV のX によるLx(dV) を計算してみると「dV(r(0))=0ならば、任意のtでdV(r(t))=0」は一般には成り立たないことが分かります。例えば
　V=x^3 + y^2・x
　r(t) = (0, t)
とすると r(t)上でrの接ベクトルX に対し X[V]=0 を満たし、
　dV = (3x^2 + y^2)dx + (2yx)dy
　　=(t^2)dx
となります。

お礼

ちょっと証明を考えてみました。

ベクトル場Xの表示がX=∂/∂x1となるように局所座標(x1,・・・,xn)をとる。
このときXの積分曲線r(t)はr(t)=(a1+t,a2,・・・,an) (a1,・・・anは任意の定数) ・・・(1)
仮定より、V[X}=0。つまり、∂V/∂x1=0 ・・・(2)
また、dV(r(0))=0とする ・・・(3)

(2)よりVはx1を含まないのでV=V(x2,・・・,xn)とかける。(Vはx2,・・・xnの関数）
従って、2<=i<=nで∂V/∂xi=∂V/∂xi(x2,・・・,xn)となり、これに(1)を代入すると
積分曲線r(t)上で∂V/∂xi=constとなる。(3)よりr(t)上で∂V/∂xi=0がわかる。
よって、dV(r(t))=0

細部は端折っていますがどうでしょうか？

補足

何度もご回答ありがとうございます。
X[V}=2yxなので確かにr(t)=(0,t)上でX[V](r(t))=t^2dxとなってしまいますね。
ただ、この例の場合、R^2全体でX[V]=0ではないので仮定にあっていないような
気もします。点によらずX[V}＝0の場合に、「dV(r(0))=0ならば、任意のtでdV(r(t))=0」
は成り立つのでしょうか？
何度も申し訳ないのですがよろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck

世界最高レベルの権威から精緻で独創的、厳密な回答が多数寄せられて心強い限りですね。「回答が来ない」などど思ってはいけません。『無』という大変深遠な回答が寄せられているのです。
http://okwave.jp/qa/q6158340.html
尤も『無』ではあまりにも深遠で理解困難と思われますので、回答者の末席を汚す私が深遠でない回答をいたしましょう。
結論から言うと、「dV(r(t))はtによらない１形式」ということはないと思われます。
X-Y平面上で
　V = 1/√(x^2 + y^2),　X = y∂/∂x - x∂/∂y
とするとX[V]=0、Xの積分曲線はVの等高線になります。dVはVの変化率が最大になる方向への方向微分であり、
　dV = (x/(x^2 + y^2)^(3/2))dx + (y/(x^2 + y^2)^(3/2))dy
で積分曲線(x^2 + y^2)=const.上で一定にはなりません。
「dV(r(t))はtによらない１形式」というのは本に書いてあったのでしょうか。

お礼

言い忘れましたが、ご回答どうもありがとうございます。

補足

「dV(r(t))はtによらない」というのはWebに書いてあったものです。
それでは、「dV(r(0))=0ならば、任意のtでdV(r(t))=0」は言えるでしょうか？
とりあえずはコレさえ真ならば問題ないのですが・・・よろしくお願いします。