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積分曲線上でdVが一定？
積分曲線上でdVが一定？ Mをリーマン多様体,VをM上の関数,XをMのベクトル場,Xの積分曲線をr(t)で表すとする. いま、X[V]=0という条件が与えられているとすると、dV(r(t))はtによらない１形式に なるらしいのですが、何故そうなるのかよくわかりません。条件よりV(r(t))=constになる ことはすぐわかるのですが・・・。基本的な質問かとおもいますがどなたかよろしくお願い します。
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世界最高レベルの権威から精緻で独創的、厳密な回答が多数寄せられて心強い限りですね。「回答が来ない」などど思ってはいけません。『無』という大変深遠な回答が寄せられているのです。 http://okwave.jp/qa/q6158340.html 尤も『無』ではあまりにも深遠で理解困難と思われますので、回答者の末席を汚す私が深遠でない回答をいたしましょう。 結論から言うと、「dV(r(t))はtによらない１形式」ということはないと思われます。 X-Y平面上で V = 1/√(x^2 + y^2), X = y∂/∂x - x∂/∂y とするとX[V]=0、Xの積分曲線はVの等高線になります。dVはVの変化率が最大になる方向への方向微分であり、 dV = (x/(x^2 + y^2)^(3/2))dx + (y/(x^2 + y^2)^(3/2))dy で積分曲線(x^2 + y^2)=const.上で一定にはなりません。 「dV(r(t))はtによらない１形式」というのは本に書いてあったのでしょうか。
お礼
言い忘れましたが、ご回答どうもありがとうございます。
補足
「dV(r(t))はtによらない」というのはWebに書いてあったものです。 それでは、「dV(r(0))=0ならば、任意のtでdV(r(t))=0」は言えるでしょうか？ とりあえずはコレさえ真ならば問題ないのですが・・・よろしくお願いします。
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