線積分

質問

ベクトル場の線積分が分かりません．
ベクトル場はa=2yu+xj+sin^2zkで曲線Cにそって線積分するのですが
一つは点P（1，0，0)を始点、点Q(0,1,π/2)を終点とする線分
二つめはCをr=costi+sintj+π/2tk(0<=t<=π/2t)です

質問をしてもr(t)をti+(1-t)j+(1-t)π/2kを使うと良いとしか分からず、
ノートを見ても
抽象的すぎて具体的にはどうすれば良いか分からず、
テキストを見ても同様の形の問題にたどり着けず頭がこんがらがっています。
教えてください。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

＞a=2yu+xj+sin^2zk
a=2yi+xj+sin^2zk
＞(0<=t<=π/2t)
(0<=t<=π/2)
の間違いですね。
ベクトルの積分経路方向成分（内積をとる）をとって積分するだけでいいと思います。
＞r(t)をti+(1-t)j+(1-t)(π/2)k
これは積分経路Cのベクトルの式です。t=1→0とします。
この経路ベクトルと積分すべきベクトルaとの内積をとって積分します。
I=[t:1→0]∫{2yt+(1-t)x+(1-t)sin^2(z)}dt
ここで,x,y,zはtの関数ですから
r(t)のx,y,z成分より
x=t,y=1-t,z=(1-t)(π/2)
です。これを積分の式に代入してやれば
I=[t:1→0]∫{2(1-t)t+(1-t)t+(1-t)sin^2((1-t)(π/2))}dt
=[t:1→0]∫{3(1-t)t+(1-t)sin^2((1-t)(π/2))}dt
u=1-tと変数変換
I=[u:0→1]∫{3u(u-1)-u*sin^2(uπ/2)}du
=[u:0→1]∫{3u^2-4u+u*cos^2(uπ/2)}du
=[u:0→1]∫(3u^2-4u)du
+[u:0→1]∫u*cos^2(uπ/2)}du
=-1+(1/4)-{1/(π^2)}=-3/4-{1/(π^2)}

計算結果は保証の限りではありませんので、自分で計算を追ってみて確認してください。やり方は合っているはずです。

2つ目も同じやり方でできますのでやってみてください。

分からなければ、やった計算の過程を書いて補足質問をして下さい。

お礼

先生が問題を間違っていたことが発覚し
解決も出来ました！
ありがとうございます。