公理の証明です。

質問

一つの線の上にある点の数は一定である、言い換えるとどの二個の線をとってもその上には同数の点がある。という公理を証明して来いといわれたのですが、全く手も足も出ません、誰かこのような問題に詳しい方お願いします。

回答No.7

taktta · ベストアンサー

・ｏ

a１----------------a2

b１------------------------b2

線分を並べ　点同士ａ1、b1の延長とa2,b2の交わりをおとします。
ｏからａの線へ投射した線ａと交わりまた延長しｂとも交わる。その交点同士が対応すると考えると線分が１：１の対応となります。どうでしょうか。

回答No.8

graphaffine

多分有限幾何の話だと思いますが、
どの有限幾何であるかをか明確にしてその公理を書いて下さい。

解答はそれからの話です。

蛇足　　前の質問はタイトルからすると測度論の
Borel　algebra辺りの話ですか。折角補足要求が出ているのに無視するのは頂けませんが。
ともかく、問題の意味をきちんと掴んで質問するよう希望します。

回答No.6

鳴瀬 美幸（@naruse）

ごめんなさい。
http://www.yuki.to/math/printtest.html

回答No.5

鳴瀬 美幸（@naruse）

ゆっくり、考えましょう。

参考URL：

http://www.yuki.to/math/prybbs.html?mode=res&no=4547

回答No.4

ranx

回答はNo.2さんの通りで良いと思いますので、
ケチをつけるだけのために出てきました。（イヤな性格！）

直線の上には無限の点があります。「同数」と言っても、
いったいどうやって比較したらよいのか、というのを解決
したのがカントールで、No.2さんの仰る通り、１対１の対応を
つけることを考えるわけです。そのようにして求められた
ものを無限集合の濃度と言ったりしますが、実は、連続体の
濃度はすべて同じです。連続体というのは、直線・曲線・
平面・曲面・三次元空間・四次元空間・・・などです。
開集合だろうが閉集合だろうが関係ありません。
ユークリッド空間でも非ユークリッド空間でも同じことです。

連続体でないものというのは、例えば自然数などで、これは
連続体よりも低い濃度になります。逆に連続体の濃度より
高い濃度を持つ集合もあります。

直線上の点と平面上の点が同じなどとは驚くべきことで、
発見者のカントール自身が驚いていたくらいですが、
ただし、これは点をばらばらにして比較する必要があります。
近い点は近くにという対応づけを同相写像と言いますが、
直線上の点と平面上の点では、これはできません。
No.2さんの言われる「開集合と開集合」というのもこの
ことだと思います。

回答No.3

shige_70

#2の方が書いていらっしゃるとおり、公理は証明するものではなく、前提となるものです。

それと、この公理? 命題? は、ユークリッド空間以外では成り立たない場合もあるのでは。。。

回答No.2

noname#24477

まず最初に「公理」というのは証明しないで認めるものを
言います。
１番の大元を言います。
だから「公理の証明」というのはそもそも変なんです。
証明されるものは「定理」などです。

何と何を公理として認めるとき何々を証明せよ。

そんなにあらためて何を公理とするか、なんて書きませんけど
やっぱりどこまで使っていいのかの共通理解が必要です。

それで話を戻して線の上にある点の数ですが
直線と直線なら適当にひとつ結んで後はそれに平行線を
引けばいいです。
１対１の対応をつければいいわけです。
一般の線になると少し厄介ですが開集合と開集合なら
対応がつけられます。

回答No.1

neue_reich

まず、「一つの線」というのは線分ですか？　それとも直線ですか？
曲線の可能性もありますよね。
公理の証明ならばそこまで詰めるべきかと…