ベクトル空間の公理と定理の読み方

質問

公理(2)
「(a+b)+c = a+(b+c)」
公理(3)
「次の性質を満たすVの元0がある。Vの任意の元aに対して、
a+0 = a
を満たす」
公理(4)
「Vの任意の元aに対して
a+a' = 0
となるVの元a'がある。」
…を踏まえてもらってですね:

定理6.1.1 ベクトル空間Vにおいて、公理(3)のベクトル0はただ1つである。
また、公理(4)におけるベクトルa'は、与えられたベクトルaに対してただ1つである。

証明 ベクトル0'が、任意のベクトルaに対して、a+0'=aを満たしたとする。
aとして0をとることによって
0+0'=0
他方、公理(3)のaとして0'をとることにより
0'+0=0'
したがって0'=0
が成り立つ。次に、a+a''=0とすると、
a'+(a+a'') = a'+0 = a'
一方、公理(2)により
a'+(a+a'')
= (a'+a)+a'' ←問題はここから
= 0+a'' ←ここまで
= a''
であるから、a'=a''が成り立つ。

…上の(a'+a)は何故0になるんですか？
多分、公理(4)のせいだと思うんですけど、
公理(4)って
「元a'は任意の元aと足すと必ず0になる元で、
元aが存在するなら必ず元a'も存在する」
と読んでいいのでしょうか？
原文からはそんな風に読めないんですけど…。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＞…上の(a'+a)は何故0になるんですか？

定理6.1.1に「公理(4)におけるベクトルa'は」と書いてあるじゃないですか。
これは、「a+a' = 0となるベクトルa'は」と言っているのと同じ意味です。

お礼

ああ、そういうことですか！
謎が解けました。納得です。
ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

「元a'は任意の元aと足すと必ず0になる元」は, a' が「どんな a をもってきても a'+a = 0 となるもの」としか読めません. そしてそのような a' は #1 でも指摘されているように (存在するなら) a とは無関係です.

お礼

ありがとうございます。
うわ、そう言われてみれば、そうですね。
何度も書きますが、上の(a'+a)は何故0になるんですか？
公理(4)のせいですか？

回答No.1

koko_u_u

単に証明の文章がはしょられているだけです。適宜不足している部分を補って読んで下さい。

>「元a'は任意の元aと足すと必ず0になる元で、元aが存在するなら必ず元a'も存在する」
>と読んでいいのでしょうか？

何となく定義の意味が伝わっていないような気もする。
これだと a' が a とは無関係にひとつだけ決まるような印象ですけど、大丈夫ですか？

お礼

ありがとうございます。
>これだと a' が a とは無関係にひとつだけ決まるような印象ですけど、大丈夫ですか？

そうですか？
「元a'は任意の元aと足すと必ず0になる元」という部分で関係性が出てくると思ったんですけど。
どちらかというと自分には公理(4)の方が、はっきりしないんですが…。
では、どう書けば定義の意味がより伝わるようになるんでしょうか、というのが質問の骨子です。

それと、「(a'+a)は何故0になる」理由は公理(4)のせい、ということでいいですか？