y=x^2のグラフ上を２点Ａ、Ｂが線分ＡＢの長さが一定になるように動く

質問

y=x^2のグラフ上を２点Ａ、Ｂが線分ＡＢの長さが一定になるように動くとき、
線分ＡＢの中点のｙ座標の最小値を求めよ。

Ａ(α,α^2),Ｂ(β，β^2)とおく。ＡＢ^2=k^2とおく。
ＡＢの中点x=（α+β)/2,y=（α^2+β^2)/2
これらより、
12y^2-(64x^2+10)y+64x^4+16x^2-k^2=0
となりました。
これより、yの最小値をもとめようと思いましたが、
挫折しました。このような方法でよいのでしょうか。
よろしくおねがいします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

Ａ(α,α^2),Ｂ(β，β^2)とおく。ＡＢ^2=k^2とおく。
ＡＢの中点x=（α+β)/2,y=（α^2+β^2)/2
ＡＢ^2=k^2＝(α－β)＾2*{1＋(α＋β)＾2}　‥‥(1)よって、αβ＝2x＾2-y　αとβは　t＾2－2αt＋(2x＾2-y)＝0　の2つの実数解→　判別式≧0　から、y≧x＾2　‥‥(2)
(α－β)＾2＝(α＋β)＾2-4αβ＝8y-4x＾2　よって、(1)から4*(8y-4x＾2)*{1＋x＾2}＝k＾2　‥‥(3)　→　2y＝{k＾2}/4{1＋x＾2}＋x＾2　後は　x＾2＝mとでも置き換えて微分。
(1)と(3)から、xの条件はないようだ。

お礼

たぶん、(α－β)＾2＝8y-4x＾2は4y-4x^2。
変形するとy=f(x)の形にできたんですね。
解決できました。ありがとうございました。

回答No.3

OKXavier

A(α,α^2),　B(β,β^2)
AB=2k

(2k)^2=(α-β)^2+(α^2-β^2)　‥(1)

ABの中点(x,y)
x=(α+β)/2　‥(2)
y=(α^2+β^2)/2　‥(3)

(2)(3)から,
y=2x^2-αβ　‥(4)

(1)から,
αβ=(4x^4+x^2-k^2)/(4k^2+1)

(4)へ代入して
y=2x^2-(4x^4+x^2-k^2)/(4k^2+1)

y'=0　から,
x=(2k-1)/2
したがって、最小値は、y=(4k-1)/4

お礼

ありがとうございました。
ｙをxの式で表すところを間違ってしまって、
難しくしていました。

回答No.2

mister_moonlight

微分なんか不要のようだ。

x＾2＝mとすると、相加平均・相乗平均から、2y＝m＋{k}＾2/4{m＋1}＝{m＋1}＋{k}＾2/4{m＋1}-1　と変形するだけ。

余り簡単なので、どこかで計算ミスをしてるかも知れない。

お礼

ありがとうございます。
相加相乗で計算が簡単になるのですね。
グラフを考える必要がなかったです。