数学の問題の解き方を教えてください。

質問

数学の問題の解き方を教えてください。
(1)　２桁の正の整数がある。その数の平方は、その数の数字の順を逆にした整数の平方より７９２小さいという。この整数を求めよ。
(2)　１００円、１０円、５円の硬貨が合わせて５０枚、合計金額で２０００円あるならば、それぞれの枚数は幾らか。
以上２問の解き方です。よろしくお願いいたします。

回答No.3

adasnt · ベストアンサー

(1) の補足

(b+a)(b-a)=8
a,bともに正の整数で，右辺が正数なので，b-a>0
さらに，b+a，b-aも正の整数である．

8は1x8 または 2x4 の整数の積であらわされるのみ．
したがって，(b+a，b-a)は(8,1)あるいは(4,2)の組み合わせしかありえない．

ところでb+aが偶数であるので，b,aともに偶数か奇数でしかありえない．
よってb-aも偶数でしかありえない．
したがって(b+a,b-a)=(4,2)
これを連立方程式としてa,bを解けばよいわけです．

偶数，奇数に気がつかなくても，それぞれで連立方程式を解いて，
a,bがいずれも整数になるのを選べばよいです．

おしまい．

お礼

こうやって解けばよいのですね。なるほどよくわかりました。何度も丁寧に教えて頂き本当にありがとうございました。

回答No.2

adasnt

(2)は,答えはひとつではありません．
100円，10円，5円をそれぞれ，x,y,zとすると，
x+y+z=50 (1)
100x+10y+5z=2000 (2)
(2)式より，
20x+2y+z=400
(1)式を引いて，
19x+y=350 (3)

ここで，0<y<50なので，
19x+0<350 および 19x+50>350 が成り立つ．それぞれを変形すると，
x<18+8/19 および x>15+15/19

よって，xのとりうる値は，16,17,18のいずれか．
x=16,17,18の時，yの値は(3)式より，
y=46,27,8 zの値は,(1)式より
z=-12,6,24
z>0なので，最初の組は除外．
(x,y,z)=(17,27,6)の組は
17x100+27x10+6x5=2000 となり(2)式を満たす．
(x,y,z)=(18,8,24)の組は，
18x100+8x10+24x5=2000 となり同様に(2)式を満たす．

したがって，(x,y,z)=(17,27,6)または(18,8,24)

おしまい．

お礼

ご回答ありがとうございます。大変解りやすく助かりました。ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

(1)
２桁の数を10a+bとして、文章を式にすると、
(10a+b)^2=(10b+a)^2-792
これを整理すると、
100a^2+20ab+b^2=100b^2+20ab+a^2-792
b^2-a^2=8
(b+a)(b-a)=8
これを満たすのは、
a=1, b=3
よって、整数は１３

(2)
100円硬貨が20枚で2000円

100円硬貨１枚を10円硬貨10枚に替えると、枚数は9枚増えるので、
50枚に近い枚数にするには、
100円硬貨3枚を10円硬貨30枚に替えて、計17+30=47枚

10円硬貨１枚を5円硬貨2枚に替えると、枚数は1枚増えるので、
10円硬貨3枚を5円硬貨6枚に替えて、計17+27+6=50枚

補足

ご回答ありがとうございます。(1)の問題についてもう少し教えて頂きたいのですが、
aとｂの求め方がよくわかりません。aとｂを求めるときa=１の様に値を代入してからｂを求めると良いのでしょうか？
よろしくお願いいたします。