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虚数の意味と意義
おそらく、高校の時の数学で、虚数（二乗するとー１）になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。 最近、量子論や量子力学などを勉強しているのですが、虚数というものが必要であることをしり、改めて考えてみたくなりました。 一、虚数は誰がいつ、何のために考えたのか。 二、虚数の出現の背景。 三、虚数の意味するところ。 四、虚数はなぜ必要か。 五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。 数学が得意でなく、文系の学問をしているので、わかりやすいHPや本、あるいは説明してくださるがおりましたら、ご教授下さい。一項目だけでも答えてくださるとうれしいです。 よろしくお願いいたします。
- mamuku-
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＞、虚数（二乗するとー１）になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。 受験数学では意味は教えないんですよ。 ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。 これですね、目の前で沢山、絵を描いて 説明できると非常に明解だと思うのですが・・・ ＞量子論や量子力学などを勉強しているのですが、 周期運動するものの差、つまり位相差を 表現するのに使われますよね。これがミソ だと思います。 ＞五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。 位相空間上の方向・・・というか・・ この話、図を描かないと丁寧な説明ができない のですが・・・ オイラーの式というのをどこかで、探して みて下さい。虚数が三角関数を通じて 回転と結びついていることが分かると 思います。 そして、どこかでメビウスの帯、若しくは メビウスの輪というのを探して下さい。 メビウスの帯びの上に１本の針を置くこと を想像してみてください。帯びの方向に ころころ転がしていくのです。 メビウスの帯は途中でねじれているので、 帯を1周すると、針の方向が上向きから 下向きになっていることが分かると 思います。 これが回転すると１からー１に符号が 変わるオイラーの式の意味するところで、 オイラーの式で、角度を９０°とし 2回かけるとー１になることと 関連しています。 すいません、言葉でうまく説明できません。
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- kbannai
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古代ギリシャや古代インドでは、負の数の平方根は存在しないとしていました。これは、虚数（らしきもの）が存在していることを意味していますが…。 ７世紀ごろのインドの数学者プラグマダによって２次方程式の解の公式が発見され、その解は係数によって代数的に表すことが出来ます。しかし、√の中が負の数の場合が出てきて困ることがあります。 １６世紀のイタリアで３次方程式の解法競争が行なわれ、平方すると負の数になる数（虚数）がクローズアップされ始めました。 これは「カルダノの解法」と言われているものです。実はニコロ・フォンタナ(1499-1557)によって発見されたのですが、カルダノがニコロから聞き出して、自分の手柄にしてしまったのです。 わかりやすい本を紹介しておきます。 『虚数i の不思議』 堀場芳数 講談社ブルーバックス(1990)
- KENZOU
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本の紹介ということで サイエンス社「数理科学 8月号」特集：虚数のプロフィル －現代科学における役割－ というのがでています。ご参考まで
- Mell-Lily
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断片的になりますが、純粋数学の観点で、虚数（複素数）の存在意義を述べてみましょう。 ・三次方程式 三次方程式は、結果が実数であっても、解く過程で複素数を使った計算を経らなければならないことがあります。 ・複素整数 複素整数 a+bi（iは、虚数単位） を想定すると、整数論の自然な拡張が達成されます。 ・代数学の基本定理 代数学の基本定理 『実数係数のn次方程式は、複素数の範囲にn個の解を持つ』 は、複素数を想定することで、成立する定理です。 ・複素関数 複素関数を想定すると、関数論の自然な拡張が達成されます。
現在、電気関係の仕事をしてりますが、虚数があることによって、方向がある量（ベクトル：特に、電気の交流電流）を表現でき、代数的計算（これがポイント！）が可能なので、便利です。ベクトルのままですと、図をかく必要があります。 私も、高校の時は、数学は全然面白くなかったのですが、意味がわかってくると、面白いですね！ ではでは。
- ymmasayan
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１． １５４５年カルダーノが虚数の概念を導入し、１５７２年その弟子のボンベリが 虚数単位としてｉを使用するとともに演算規則を整理したそうです。 虚数にたどり着いたのは、３次方程式、４次方程式の解法の研究の末だそうです。 ３． とにかく二乗して－１になることです。 ４． 必要というよりものすごく便利です。 一例をあげると電気工学（だけでないことは承知してますが）で交流や三相交流を 扱うには虚数（複素数）なしでは手も足も出ません。
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