微分の公式

質問

微分の公式

定義は、xにおいてΔtだけ違いのある２点の傾きを出し、Δtを小さくしていく事で接線を出すのですが、その性質（次数が係数になり、かつ１つ下がる）はいかにして導きだされたのでしょうか？
定義と結果のつなぎ目が知りたいです。

誰かこの事もしくは関連図書をご存知の方がいらっしゃいましたら、知恵をお貸し下さい。

回答No.1

puyo3155 · ベストアンサー

例えば、

ｙ＝ｘ＾２　にて、

　X＝A　と、X＝A＋ｔ　を代入して、２点の傾きをもとめると

　（（A＋ｔ）＾２ーA＾２）/t = (2At+t^2)/t = 2A+t

となるので、ｔが０になれば、２A。つまり、ｙ＝ｘ＾２の　X=Aにおける傾きは、２Aになります。
これを、汎用的にすれば証明は可能です。数学の教科書に出てませんか？

お礼

回答ありがとうございます。

そうですね…普通に計算すれば、極簡単な事ですね…

回答No.3

noname#185706

＃２の訂正です。本文、下から５行目で

×（合成関数の微分）
○（関数の積の微分）

失礼しました。

お礼

了解です。

回答No.2

noname#185706

↓でどうでしょう。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/keisan/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/bibun/keisan/diff-x%5En.html
（ただし、α が無理数の場合は扱われていません。）

α が自然数の場合には、次のように数学的帰納法を使うこともできます。

n が自然数の場合の　(x^n)’ = n x^(n-1)　の証明。
n = 1 に対しては、
左辺 = (x)’ = lim[{(x+h)-x}/h] = lim 1 = 1 、
右辺 = 1・x^0 = 1・1 = 1 、
で与式は成り立つ。
与式が n = k (>= 1) に対して成り立つと仮定すると、
n = k+1 に対して、
与式の左辺
= {x^(k+1)}’
= (x・x^k)’
= (x)’・x^k + x・(x^k)’　　（合成関数の微分）
= 1・x^k + x・{k x^(k-1)}　　（第２項は仮定より）
= x^k + k x^k
= (k+1)x^k
= 与式の右辺

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、帰納法を使えば証明出来ますね。
数学って美しい。