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微分公式

微分公式にの導きかた(定義)についておしえてください。 できれば、くわしく教えてほしいです。 (1) (e^x)'=e^x (2) (logx)'=1/x (x>0) (3) (log|x|)'=1/x

みんなの回答

回答No.2

tati353さん、こんばんは。 まず、(2)から導きます。 >(2) (logx)'=1/x (x>0) 定義に従って、微分していきます。 {log(x+h)-logx}/hを、まず考えてみましょう。 {log(x+h)-logx}/h=1/h{log(x+h)-logx}          =1/hlog(x+h)/x          =1/hlog{1+(h/x)} ここで、h/x=kとおくと、h→0のとき、k→0ですね。 1/hlog{1+(h/x)}=1/kxlog(1+k)=1/xlog(1+k)^1/k ここで、h→0,k→0のとき、(1+k)^1/k→e ゆえに、 (logx)'=lim{log(x+h)-logx}/h     h→0     =1/xloge=1/x・・・(証明終わり) >(1) (e^x)'=e^x 指数関数と対数関数は、互いに逆関数の関係にあるから、 逆関数の微分方法 dy/dx=1/(dx/dy) を用いればいいでしょう。 y=e^xとおくと、y>0で、x=logyです。 xは単調増加で、微分可能であって、両辺yで微分すれば、 dx/dy=1/y>0 ゆえに、xの逆関数yも微分可能で、 dy/dx=1/(1/y)=y=e^x したがって(e^x)'=e^x・・・(証明終わり) >(3) (log|x|)'=1/x これは、場合わけすればいいと思います。 まずは、x>0のときは、(2)と同じですから (log|x|)'=1/xが成り立ちます。 x<0のときを考えてみましょう。 (log|x|)'={log(-x)}'=1/(-x)*(-x)'=1/x となるので、 (log|x|)'=1/x・・・(証明終わり) となります。一度やってみてくださいね。

  • rei00
  • ベストアンサー率50% (1133/2260)
回答No.1

 教科書に載っているような気がしますが・・・。下記サイトにも出ている様ですので,御覧になってみて下さい。   ◎ 微分積分いい気分  「微分 2」の「指数函数, 対数函数の微分」です。

参考URL:
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/contents.htm

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