- ベストアンサー
絶対収束の証明
adinatの回答
- adinat
- ベストアンサー率64% (269/414)
| Σ z^n / n! |≦Σ|z|^n / n! だからこの右辺の収束を考えます。|z|≦2NをみたすようなNをとってくると、そのNよりnが大きい(n≧N)ならば|z|/n≦|z|/N≦1/2となります。従ってM= |z|^N / N!とおくと、n≧Nならば、 |z|^n / n! ≦M(1/2)^(n-N)=M'(1/2)^n となります。ただしM'=M(1/2)^(-N)とおきました。このことから Σ|z|^n / n! =Σ{n=0~N}|z|^n / n! + Σ{n=N+1~∞}|z|^n / n! ≦C+M'(1/2+1/4+…)=C+M' ただしC=Σ{n=0~N}|z|^n / n!とおきました。 これから左辺は有界な非負の数の和なので収束することがわかります。
関連するQ&A
- 絶対収束するかという問題です。
絶対収束するかという問題です。 Σ(n=1→∞) {(n!z^n)/n^n}が|z|<eで絶対収束するか?という問題で, ダランベールの判定法を使うのだと思うのですが, lim(n→∞) {(n!z^n)/n^n}<1?っていう状態で・・・。 どなたか解説お願いします。 あと,もう一問 Re(z[n])≧0のz[n]に対して,Σ(n→∞) z[n],Σ(n→∞) (z[n])^2がともに収束するならば,Σ(n→∞) |z[n]|^2も収束することを示せという問題もできればお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 絶対収束と条件収束について
Σ(n=0 to ∞) An が条件収束するとすると Σ(n=0 to ∞) An(x^n) が |x|<1 のとき絶対収束するというのは、 Σ(n=0 to ∞) An が有界で、x^nが n->∞ につれて0に近づくから、という証明でいいのでしょうか? これだけでは収束するという証明は出来ても絶対収束するという証明にはならないような気がするのですが、いかがでしょうか? よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素級数の広義一様絶対収束について
∑_{n=1}^{∞} 1/(z^2+n^2) が|z|<1で広義一様絶対収束することを示せという問題なんですが、解答の方針がさっぱり見えません。おそらく、∑_{n=1}^{∞} { 1/(z+n) + 1/(z-n) } の|z|<1での広義一様絶対収束性が分かっているので、このことを使うと思いますが、ここから手詰まりです。解答の指針だけで結構ですので、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 収束に関する証明問題
{An}(n=0~∞)、{Bn}(n=0~∞)を数列とし、Σ(n=0~∞) |An|、Σ(n=0~∞) |Bn|は収束するとする。このとき、 Cn=Σ(m=0~n) An-m × Bm と定めると、Σ(n=0~∞) Cnは絶対収束することを示せ。 という証明問題がよく分かりません。分かる方、教えてくださると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Σa_nx^nが絶対収束することを示す問題について…
Σa_nx^nが絶対収束することを示す問題について… Σ(n=0→∞)をべき級数とし、x0(≠0)に対し数列{a_nx0^n}(n=0→∞)が有界であると仮定する。このとき、|x|<|x0|を満たすすべてのxに対してΣ(n=→∞)a_nx^nは絶対収束することを示せ。 という問題で、以下のような証明があるのですが、少しわからないところがあるので教えていただきたいです。 証明 a_nx0^nは有界であるから、 |a_nx0^n|≦M (n=0,1,2,…)となる定数M>0が存在する。 |x|<|x0|とすると、 |a_nx^n|≦M(|x|/|x0|)^n |x|/|x0|<1より、Σ(n=0→∞)M(|x|/|x0|)^nは収束する。 よって、Σa_nx^nは絶対収束する。 // このような証明があったのですが… |x|<|x0|とすると、 |a_nx^n|≦M(|x|/|x0|)^n の部分がよくわかりません。 なぜこのような不等式が成り立つのでしょうか?? 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 2ヶ所ほど分からないんでもう一度お願いします。 1)1行目~2行目 |z|≦2N より |z|/n≦|z|/N≦1/2 の部分で、なぜ1/2がでてくるんですか?(|z|/N≦2なら分かるんですが・・・) 2)3行目 |z|^n / n! ≦M(1/2)^(n-N) の部分の変形の仕方が分かりません。(変形の理由?) 頭が悪くてすいません^^