a^0=1,a^-1=1/a と定義すると教科書には書いていますが、

質問

a^0=1,a^-1=1/a と定義すると教科書には書いていますが、
定義することができるのか、疑問に思っています。

この疑問を別の例で言うと、
２×３＝６と定義する。というのと似ているように思うのですが。
２×３は定義しなくても、６を求めることができる。
同じように、
(1)a^0は定義しなくても、０をもとめることはできないのか。
(2)そもそもa^0=1と定義してよいのか。
以上の点について、よろしくお願いします。

回答No.4

aidlii · ベストアンサー

定義できるのか？　とりようによっては深い質問ですね。突き詰めると数とは何かという問題になっていくのでしょうか…。例えば１とは何か。私は１そのものを見たことがありません。一つの物は見たことがありますが、１そのものは見たことがない。同じく数字そのものを見たことがない。数字を表す記号は見たことがありますが。では数字とは本当にあるものなのか、あるいは勝手な幻想なのか…。見たこともないものについて、定義なんて、できるのか。ご質問がこのあたりを考えてのことでしたら、そして、ご質問者さんが、高校生とかでしたら、将来プラトンという人の本を読んで下さい。面白いと思いますよ。
　さて、数学的な答えを一応、書いておきます。
　数学では法則を重んじます。
　例えば２の３乗×２の５乗＝２の何乗になりますか？　２の８乗。なぜ８乗？　３＋５＝８だから。
　この法則を、０乗の時にも、マイナス乗の時にも生きることにするのです。
　例えば２の０乗×２の３乗も、０＋３＝３より、２の３乗としたい。
　だったら２の０乗×２の３乗＝２の３乗。となると２の０乗は１。
　ここから０乗は１ということになります。
　次に２の－１乗。これも２の－１乗×２の１乗というとき、－１＋１＝０より２の０乗としたい。
　つまり２の-1乗×２の１乗＝２の０乗＝１。
　ということは２の-1乗は２分の１となるわけです。
　数学は法則を生かすということは、実は負の数について、経験済みです。
　負の数×負の数は、なぜ正の数なのでしょう。
　これも分配法則という法則を重んじた結果なのです。
　例えば２×（３＋５）＝２×３＋２×５になります。これが分配法則です。
　実はこの法則が成り立たないと、因数分解が出来ません。因数分解が出来ないと、たかが２次方程式も解けなくなります。ですから大変重要な性質なのです。
　そこで分配法則が負の数でも成り立つということにします。すると負の数×負の数＝正の数であるということになります。このことを示すために、まず正の数×負の数＝負の数を示しましょう。
　例えば２×（（＋３）＋（－３））＝２×（＋３）＋２×（－３）が成り立つとするわけです。
　で、左辺の２×（（＋３）＋（－３））＝２×０＝０
　これが右辺と一致しますから２×（＋３）＋２×（－３）＝０
　よって２×（－３）＝－２×（＋３）＝－６。
　よって正の数×負の数＝負の数となるわけです。
　次に（－２）×（（＋３）＋（－３））を考えます。
　すると（－２）×（（＋３）＋（－３））＝（－２）×（＋３）＋（－２）×（－３）
　さきほどと同じく左辺は（－２）×（（＋３）＋（－３））＝（－２）×０＝０
これが右辺と一致しますから（－２）×（＋３）＋（－２）×（－３）＝０
　（－２）×（＋３）は負の数×正の数なので負の数。よって－６。
　だから－６＋（－２）×（－３）＝０
　よって（－２）×（－３）＝６。つまり負の数×負の数＝正の数。
　このように、新しい負の数というものについて、計算を定義するときには、正の数で成り立っていた大事な法則が、負の数でも生きるように、定義するわけです。
　０乗やマイナス乗も同じような感じです。自然数乗で成り立っていた大事な法則が、０乗やマイナス乗でも成立するように定義するわけです。
　長くなりましたが、こんな回答でいかがですか。

お礼

この法則を、０乗の時にも、マイナス乗の時にも生きることにするのです。
この説明で、理解できないことの1つは解決しました。
そうすると、a^0とかa^-nは、0，負の数で指数法則が成立させるためだけのもので
√２とは違って、実態のない数ということでしょうか。
ありがとうございます。なんとなく疑問がほぐれてきたような気がします。

回答No.7

aidlii

前に回答をよせたaidliiです。さらにご質問があるようですので、少し補足を。
　０乗とかマイナス乗は、指数法則を満たすだけで、ルート２のように実態があるわけではない数？　答えるのが難しくなってきました。ここには、何をもって実態とするかという問題があるのです。
　０乗、マイナス乗、さらに高校では分数乗が出てきます。で、一応、こじつけみたいな説明で、高校の教科書には、無理数乗も出てきます。２のルート３乗とかですね。さらに大学に入ると、複素数乗（つまり１＋２i乗とかです）というのも出てきます。
　では、こうしたことに実態がないのか？　
　実は、このように拡張することで、数学において、大きな世界が広がるのです。つまり、この拡張には、大きな意義があるということになる、とでも言えばいいでしょうか。
　そんなわけで、数学的には実態があるということになる。そんな説明になるかと思います。
　現実との関係でいえば、物理や化学など、自然を分析する上でも大きな役割を果たすことになります。
　きわめて素朴な説明をすれば、正三角形って実態がありますか？　円て実態がありますか？　辺の長さが１ミクロンも違わない三角形なんて、本当に描けますか？　ある点からまったく同じ半径で円が描けるでしょうか？　描けないとしたら、実態があるのでしょうか？　そもそも点って何ですか？　平面図形では、点は大きさを持たないことになってます。大きさがないなんて、そんなの実態がありますか？　直線はまっすぐに果てしなく延びてる。そんなの実態ありますか？
　日常感覚と、かけ離れていることは確かですが、数学には、数学の実態があるのです。そして前に作り上げた実態から、新たな実態を作り出すようなところがあるのです。
　何とも歯切れの悪い説明ですが、こんな回答でいかがでしょうか？

お礼

<数学には、数学の実態があるのです。>
理解できる言葉でした。自然数以外の数は、日常生活では
実態がないけれど、数学としてある程度違和感なく使っている。
数学の実態の中で、少しはものを考えられていると言うことでしょうか。
ありがとうございました。

回答No.6

noname#116057

豆知識
　2つ前の学習指導要領では，指数法則a^0＝1,a^(－n)＝1/a^n(a≠0,nは自然数)すなわち指数を整数全般に拡張することは数学Iで，指数を有理数にまで拡張することは基礎解析で扱っておりました。

回答No.5

Tacosan

(2) については「(a が 0 でなければ) 指数法則からそのように設定すると話がきれい」ということで落ち着きます.
(1) はあなたが何を言いたいのか不明. 「0 をもとめる」とはどういうこと?

あと, ２×３ については, そのものを「6」と定義していなくてもそれとは別に「乗算」それ自身の定義があるはずです. で, その「乗算の定義」に従って計算した結果「6」が得られるので, わざわざ「2×3 = 6」と定義することはありません.

お礼

「0 をもとめる」ご指摘の通り、これは、１の間違いでした。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

6 の定義は、通常、
3×2 ではなくて、5+1 でしょうね。
3×2 の値は、
3×2 = 3×1+3 = 3+3 = 4+2 = 5+1 = 6
のように計算できます。
3×2が計算できる理由は、
上記で使ったような種々の計算規則が、
足し算や掛け算の定義に含まれているからです。

巾乗の定義は、いわゆる「指数法則」を含みますが、
それが、0乗=1 を導けるような形で定義されているか？
が問題なのだと思います。
a↑(x+y) = (a↑x)・(a↑y) は、
a≦0 だったり、x,y が自然数以外でも
成立する法則なのでしょうか。
定義に戻って、そこを確認することがたいせつです。

お礼

それが、0乗=1 を導けるような形で定義されているか
この辺のことが、頭の中でよく整理されていないので、理解できないのだと思います。
ありがとうございます。

回答No.2

toshih2000

質問者さんは中学生? 高校生?

定義することができるのか?
というか
数学では二つともに、その教科書のように定義されています。
また、そう定義されていないと、困るんです。

ま～、これから勉強していくでしょうけど。
楽しみですね～。数学は面白い?

補足

そう定義しないと、こまることがあるということですが、
具体的にこまることとはなんでしょうか。
教えてもらえるとありがたいのですが。

回答No.1

nattocurry

a^3÷a＝a^2
a^2÷a＝a^1
a^1÷a＝a^0　⇔　a÷a＝1
a^0÷a＝a^-1　⇔　1÷a＝1/a

補足

そうするとa^0は計算をすると、0となる。
a^-1は1/aとなる。
という理解になるのでしょうか。
それとも、ただ単に決める。ということなのでしょうか。
よろしくお願いします。