A^nをもとめるには？？

質問

２次正方行列A=(-1,2;-6,6)に対し、A^nを求めよ。

教科書をさっとみただけで、行列はまだよくわかってません。そこで質問があります。

教科書にはA,Pが同次数の正方行列で、P^-1が存在するとき、B=P^-1APとすると、A^n=PB^nP^-1って書いてありますが、そもそもPってどこから出てきたんでしょうか？？Aに対して適当なPを探すんでしょうか。

調べたら固有値とか固有ベクトルが関係してくるみたいですが、そもそも固有値などという言葉は教科書に出てません。探し方も書いてません・・・

　その点を踏まえて、上の例題の解き方を文字式だけでなく言葉による説明も加えつつ、教えてください。教科書には例題もなく、困ってしまいました・・・。よろしくおねがいします。

回答No.1

B-juggler · ベストアンサー

こういうのはきちんと理解してください。
　＃そういうσ(・・*)は代数屋です。

えっと、分からなければ自分で調べる癖をつけたほうが
いいかもしれない。

人に任せてばかりでは、試験中にカンニングなんて考えることに
なりかねないよ＞＜　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/eigenvalue0.htm

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/eigenvalue2.htm

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/diagonal1.htm

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/diagonal2.htm

このあたりで大体できると思うけれど。

なんかわからなければ、また出してみるか、自分で調べる♪

ｍ（＿　＿）ｍ

補足

ありがとうございます。初学なんで不明点だらけです・・・
ちなみにですが、固有値や固有ベクトルは、その行列を対角化してA^nを計算しやすくするために求めるということであってますか？

回答No.2

OurSQL

固有値や固有ベクトルが教科書に出ていないということは、高校数学ですよね。
ハイレベルの高校生用参考書では、固有値や固有ベクトルを扱っていると思うので、この機会に勉強しておくことをお勧めします。
ただ、高校生らしい解き方でいくなら、ハミルトンケーリーの定理を利用する方法もあります。

ハミルトンケーリーの定理より、A^2 － 5A + 6E = O
よって、A^2 = 5A － 6E
あとは、A^n = a_n A － b_n E とおいて、{ a_n } と { b_n } の一般項を求めます。

A^(n + 1) = (5 a_n － b_n)A － 6 a_n E が成り立ち、ここから先は、行列の問題というより数列の問題に近いですね。
簡単な解き方を知らないとかなり面倒な計算になりますが、漸化式から数列の一般項を効率よく求める方法については、数学Ｂの参考書で調べてください。
a_n = 3^n － 2^n
b_n = 2・3^n － 3・2^n
と求まります。

よって、A^n の各成分は、
(1, 1) 成分 = －3^(n + 1) + 2^(n + 2)
(1, 2) 成分 = 2・3^n － 2^(n + 1)
(2, 1) 成分 = －2・3^(n + 1) + 3・2^(n + 1)
(2, 2) 成分 = 4・3^n － 3・2^n
となります。