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フーリエ積分公式を用いて次の等式を証明したい。

フーリエ積分公式を用いて次の等式を証明したい。 ∫[0~∞]((usin(xu))/(1+u^2))du=(π/2e^x) (x>0) わかる方がいました参考にさせて頂きたいです。 よろしくお願いします。

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回答No.2

#1でお答えしたものです。申し訳ございません,ミスをしてしまいました。(π/2) exp(-x) は奇関数ではありません… 改めて解答を作ってみましたが,複雑だったので,ほかの方(または自分も考え直して)のスマートなご解答をご参考になさってください。 一応,私の解答を次のページにUpload致します。必要あれば(画像をクリックして)ご覧になってください: http://blog.goo.ne.jp/gotouikusa/e/503bd77e608617891da1270c154fab08 添付したのは,その概略です。

vhk
質問者

お礼

参考になりました。 ありがとうございました。

その他の回答 (2)

回答No.3

具体的にどのような式をもちいてよいのか書いてないでの、適当に解釈します。 参考URLに同じ問題がありますのでそれを参考に。 以下は証明の概略です。 f(x)=π/2e^x. 参考URLのフーリエ正弦変換を用います。 (用いてよい条件満たしていることを確認してください。) F_s=Fと略記. フーリエ正弦変換 F(u)=int[0,∞]f(x)sin(ux)dx. 問題の右辺=f(x)=2/π×int[0,∞]F(u)sin(ux)du. 2/π×F(u)=u/(u^2+1)、を示せばよいことがわかります。 2/π×F(u) =π/2×int[0,∞]f(x)sin(ux)dx =int[0,∞]e^{-x}sin(ux)dx. 最後の積分をIとする(高校数学でできますが一応計算します). 二回部分積分します。 I =int[0,∞]ue^{-x]cos(ux)dx =u-u^2I. I=u/(u^2+1). この積分値を求めるには、複素積分の留数定理を用いる方法もあります。

参考URL:
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node82.html
vhk
質問者

お礼

参考になりました。 ありがとうございました。

回答No.1

ご参考になさってください。

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