スターリングの公式の証明

質問

１番はできたと思うのですが自信がないです。

１．
　　関数　　g(x)=(1+1/x)+log(1+1/x)

に対して、不等式、

　0<g(x)<(1/12x)-(1/12(x+1))

を示せ。

２．
　関数u(x)を

　　　　u(x)=Σ(n=0、∞)g(x+n)
によって定義する。このとき、u(x)が収束することを示し、このu(x)を使って定義した関数
　　　　f(x)=x^x-1/2*e^-x*e^u(x)
が関係式f(x+1)=x*f(x)を満たすことを証明せよ。

３．
　上で証明したf(x)がx>0で凸であることを示せ。

２番以降はまったく手が出ません。どなたかお願いします！

回答No.3

oodaiko · ベストアンサー

すみません。エラそうなことをいっておきながら、ウソを書いてしまいました。f(-_-;)
＞だいいち g(x)に定数項が含まれていたら級数
＞Σ(n=0、∞)g(x+n)
＞が収束するはずがありません。
これはg(x)= a+b(x)という和の形で書いた時,aとb(x)が同時にそして常に正,または負となる場合についての話でした。
aとb(x)の符合が異なる場合がある,あるいはaやb(x)常に同符合をとるとは限らないような時は勝手に
Σ(n=0、∞) (a+b(x))=Σ(n=0、∞)a ＋ Σ(n=0、∞) b(x)
としてはいけないので定数項が含まれていても収束しないとは限りません。

なお以下の解説ではいちいち断らなくてもx＞0と仮定しておきます。
１．
公式
(1/2)*log((1+s)/(1-s)) = Σ(n=0、∞)(s^{2n+1})/(2n+1)　　　　　　　　　……(1)
を使います. この公式は|s|<1の時に成立します。

x＞0なら1/(2x + 1)＜1なので s = 1/(2x + 1) として(1)に代入すると
(1+s)/(1-s)= 1+ (1/x)となるので

(1/2)*log(1+(1/x)) = Σ(n=0、∞)(1/((2n+1)(2x+1)^{2n+1}))　　　　　　　……(2)

となります. (2)式の両辺に2x+1をかけて1を引くと

g(x) = (x+(1/2))*log(1+(1/x))-1 = Σ(n=1、∞)(1/((2n+1)(2x+1)^{2n}))　　……(3)

となります。右辺の級数は正項級数なので0＜g(x)がわかります。

さて(3)の級数の各項は1≦nの時
1/((2n+1)(2x+1)^{2n})≦ 1/( 3((2x+1)^{2n}))
となりますから（等号になるのはn＝1のときだけ）

0＜g(x) = Σ(n=1、∞)(1/((2n+1)(2x+1)^{2n}))＜Σ(n=1、∞) 1/( 3((2x+1)^{2n}))
= [1/( 3((2x+1)^2))]× Σ(n=1、∞)(1/((2x+1)^{2(n-1)}))
=[ 1/( 3((2x+1)^2))]×[1/( 1 - (1/(2x+1)^2))]
= [ 1/( 3((2x+1)^2))]×[(2x+1)^2/(4((x^2) + x)) ]
= 1/(12((x^2) + x)) = (1/(12x))-(1/(12(x+1)))

よって１番の不等式が示せました.またこの式よりg(x)はx→∞とすると0に収束することがわかります。　 　　 　　 ■

２.
u(x)=Σ(n=0、∞)g(x+n)とする。
１.より任意のnに対して
g(x+n)＜(1/(12(x+n)))-(1/(12(x+n+1)))
であることがわかる。そこで
0＜ Σ(n=0、∞)g(x+n)＜ Σ(n=0、∞){(1/(12(x+n)))-(1/(12(x+n+1)))} = 1/(12x)
よって
0＜ u(x)= Σ(n=0、∞)g(x+n) ＜ 1/(12x)　　　　　　　　　　　　　　　　　……(4)
g(x)は正なので級数
Σ(n=0,k)g(x+n)　
はkについて単調に増加します。従って(4)より、無限級数
Σ(n=0、∞)g(x+n)
は収束する. 　　　　　■
また、この式からu(x)はx→∞とすると0に収束することがわかります。

２.2
f(x)={x^(x-1/2)}*{e^(-x)}*e^{u(x)}
が関係式f(x+1)=x*f(x)を満たすことを証明せよ。

まず関係式
u(x+1) -u(x)= Σ(n=0、∞)g(x+1+n) - Σ(n=0、∞)g(x+n)
= Σ(n=1、∞)g(x+n) - Σ(n=0、∞)g(x+n) = -g(x)
= - (x+(1/2))*log(1+1/x) + 1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………(5)
はいいですね。

さてlog{f(x+1)}とlog{x*f(x)}を比較します。
f(x+1)= {x^(x+1/2)}*{e^(-x-1)}*e^{u(x+1)}
x*f(x)= {x^(x+1/2)}*{e^(-x)}*e^{u(x)}
ですから
log{f(x+1)}= (x+(1/2))*log(x+1) - x - 1 + u(x+1)
log{x*f(x)}= (x+(1/2))*log(x) - x + u(x)
となります。そこで
log{f(x+1)} - log{x*f(x)}
= (x+(1/2))*(log(x+1)- log(x)) -1 +u(x+1) -u(x)
= (x+(1/2))*log(1+1/x) -1 + u(x+1) -u(x)
(5)を代入して
= (x+(1/2))*log(1+1/x) -1 - (x+(1/2))*log(1+1/x) + 1 = 0

すなわち
log{f(x+1)} - log{x*f(x)} = 0
より
f(x+1) = x*f(x)
がいえました。　　　　　　　　　　■

３．
まずlog{f(x)}の２階微分を考えます。

log{f(x)}= (x-(1/2))*log(x) - x + u(x)
なので両辺を２階微分すると

[log{f(x)}]"= (1/x)+ (1/(2{x^2})) + u”(x) 　　　　　　　　　　　　 ……(6)

となります。さて(3)式より
g(x) = Σ(n=1、∞)(1/((2n+1)(2x+1)^{2n}))　
なので
u(x)=Σ(n=0、∞)g(x+n)= Σ(k=0、∞) Σ(n=1、∞)(1/((2n+1)(2(x+k)+1)^{2n}))　
と書けますから

u”(x)= Σ(k=0、∞) Σ(n=1、∞)((6n)/((2(x+k)+1)^{2(n+1)}))　
となります。
これは正項級数なので常にu”(x)＞0ということを示しています。従って(6)より常に
[log{f(x)}]"＞0
すなわち log{f(x)}は凸です。

さてf(x)＞0であることは明らかですね。
一方　　　
f'(x) = f(x)*[log{f(x)}]'　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(7)
なので
f"(x) = f'(x)*[log{f(x)}]'+ f(x)*[log{f(x)}]"
　　 = f(x)*([log{f(x)}]')^2 + f(x)*[log{f(x)}]" 　
　　 = f(x)*( ([log{f(x)}]')^2 + [log{f(x)}]" ) 　　　　　　　　　　　 ……(8)　
ここで先に見たように
[log{f(x)}]"＞0 であり,かつ([log{f(x)}]')^2＞0 かつ f(x)＞0 なので
f"(x)＞0 となります。よってf(x)は凸であることがわかります。　　　　　　　　　　　　　■

なお３番の証明では級数で表される関数の微分を求めるのに項別に微分してしまっていますが、本来それは無条件にやれることではありません。それをやれるためには、考えている変数の範囲で
1.級数が収束すること
2.各項が微分可能であり、項別に微分した級数が一様収束すること
の２つが満たされていなければなりません。
g(x)の級数を項別に微分した関数は{x＞0|x∈Ｒ}で（各点収束はしていますが）一様収束はしていないので、一見するとこの条件をみたさず、従って勝手に項別微分をすると具合が悪そうですが、実は{x＞0|x∈Ｒ}に含まれるどんな閉区間をとってもその上では一様収束している（広義一様収束）ので条件は（多少論証を要しますが）適用できます。

お礼

ありがとうございます！
　＞すみません。エラそうなことをいっておきながら、ウソを書いてしまいました。f(-_-;)
とんでもない。気がつかなかった私が悪かったですから。
本当にありがとうございました。これで進級できます！

回答No.2

oodaiko

＞関数　　g(x)=(x+1/2)+log(1+1/x) です。
また間違えてますね。

x＞1/2だとやはりg(x)＞1になります。

だいいち g(x)に定数項が含まれていたら級数
Σ(n=0、∞)g(x+n)
が収束するはずがありません。

アップする前に投稿内容の確認画面が出るので、アワてずにそこできちんと確認してから投稿ボタンを押すようにしましょう。

補足

たびたび申し訳ないです・・・。

関数　　g(x)=(x+1/2)*log(1+1/x)-1 です。

回答No.1

oodaiko

問題の書き間違いではないですか？

(１)x＞0と仮定してよいのですね。

(２) そうすると1/x＞0.かつlog(1+1/x)＞0ですから
g(x)=(1+1/x)+log(1+1/x) ＞1
となります。したがって
g(x)<(1/12x)-(1/12(x+1))
などとなるはずがありません。

(３)従って、級数
u(x)=Σ(n=0、∞)g(x+n)
が収束するはずがありません

もうひとつ補足要求です。
＞f(x)=x^x-1/2*e^-x*e^u(x)
どこまでが指数部分を示しているのか,どこまでが分母部分なのか不明です。
こういう複雑な式を書くときは面倒でもきちんと括弧をつけて
誤解を招かないような表現にしておきましょう。例えば
　f(x)=(x^x) - (1/2)*e^{-x}*e^{u(x)}
などいうふうに

補足

申し訳ありません！ミスしてました。

関数　　g(x)=(x+1/2)+log(1+1/x) です。

そして、

　f(x)={x^(x-1/2)}*{e^(-x)}*e^{u(x)}

です。

考えていただいたのに本当に申し訳ありませんでした！