スターリングの公式周りのことについて

質問

現在私は大学3年で、ゼミでスターリングの公式について調べているのですが、

１、e(n/e)^n＜n!＜ne(n/e)^n

２、n!～√(2πn)(n/e)^n

３、n!=√(2πn)(n/e)^n*(1+1/12n+1/288n^2-1139/5140n^3+O(1/n^4))

O：ラージオーダー

この3つに関して、3から2を、2から1を証明するように課題を出されたのですが、いまいちわかりません。

英文の数学書(TheBook)を和訳しながら読み進めていて、その中でヒントになりそうなのは
F(n)～G(n)：lim[n→∞]F(n)/G(n)=1くらいしかありませんでした。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

・3から2はほとんどあきらかでしょう．すなわち

n!/(√(2πn)(n/e)^n)～1+1/12n+1/288n^2-1139/5140n^3+O(1/n^4))～1

・2から1も同様です．e<√(2πn)<neというn≫1では当たり前に成り立つ不等式の各辺に(n/e)^nをかけると，

e(n/e)^n<√(2πn)(n/e)^n<ne(n/e)^n

これに2を使うと

e(n/e)^n<ｎ!<ne(n/e)^n

となります．

※１を詳しく書くと

n^n/e^{n+1}<n!<n^{n+1}/e^{n-1}

両辺の相乗平均をとると

√(n^{2n+1}/e^{2n})=√n(n/e)^n

これは2と√(2π)の定数因子だけことなります．

３．２．１．と近似を粗くしています．さらに粗い近似として高校生にも理解できるlogn!≒nlogn-nがあります．これはn!≒ne^{-n}と同じです．熱統計力学などではこれでも議論できることがあります．

お礼

ありがとうございました。
これをもとに自分でちゃんと勉強してみます。

回答No.1

f272

いったい何が「いまいちわかりません」なんだろう？
せいぜい大学入試レベルの問題だよ。
わかっていることだけでも書いてごらんなさい。

ところでn=1のときは
e(n/e)^n=n!=ne(n/e)^n
と言うのは，どう処理すればいいのかな？
nが十分に大きいときの話だから無視するか？

補足

お恥ずかしい話なのですが、何をどうしたらいいのかまったくわからない状態です……。

もしかしてF(n)～G(n)の式を使えば3→2の証明はできるんですかね？
2→1はn!を2の式に置き換えて？