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スターリングの公式周りのことについて
現在私は大学3年で、ゼミでスターリングの公式について調べているのですが、 １、e(n/e)^n＜n!＜ne(n/e)^n ２、n!～√(2πn)(n/e)^n ３、n!=√(2πn)(n/e)^n*(1+1/12n+1/288n^2-1139/5140n^3+O(1/n^4)) O：ラージオーダー この3つに関して、3から2を、2から1を証明するように課題を出されたのですが、いまいちわかりません。 英文の数学書(TheBook)を和訳しながら読み進めていて、その中でヒントになりそうなのは F(n)～G(n)：lim[n→∞]F(n)/G(n)=1くらいしかありませんでした。
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・3から2はほとんどあきらかでしょう．すなわち n!/(√(2πn)(n/e)^n)～1+1/12n+1/288n^2-1139/5140n^3+O(1/n^4))～1 ・2から1も同様です．e<√(2πn)<neというn≫1では当たり前に成り立つ不等式の各辺に(n/e)^nをかけると， e(n/e)^n<√(2πn)(n/e)^n<ne(n/e)^n これに2を使うと e(n/e)^n<ｎ!<ne(n/e)^n となります． ※１を詳しく書くと n^n/e^{n+1}<n!<n^{n+1}/e^{n-1} 両辺の相乗平均をとると √(n^{2n+1}/e^{2n})=√n(n/e)^n これは2と√(2π)の定数因子だけことなります． ３．２．１．と近似を粗くしています．さらに粗い近似として高校生にも理解できるlogn!≒nlogn-nがあります．これはn!≒ne^{-n}と同じです．熱統計力学などではこれでも議論できることがあります．
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- f272
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いったい何が「いまいちわかりません」なんだろう？ せいぜい大学入試レベルの問題だよ。 わかっていることだけでも書いてごらんなさい。 ところでn=1のときは e(n/e)^n=n!=ne(n/e)^n と言うのは，どう処理すればいいのかな？ nが十分に大きいときの話だから無視するか？
補足
お恥ずかしい話なのですが、何をどうしたらいいのかまったくわからない状態です……。 もしかしてF(n)～G(n)の式を使えば3→2の証明はできるんですかね？ 2→1はn!を2の式に置き換えて？
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お礼
ありがとうございました。 これをもとに自分でちゃんと勉強してみます。