微分方程式の一般解の求め方が分からないので教えてください。

質問

微分方程式の一般解の求め方が分からないので教えてください。
1.(1+x^2)y´+2x(1+y)=0
2.2yy´+logx+1=0
3.2x+y+(x-2y)y´=0

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

1. (1＋x^2)y´＋2x(1＋y)＝0

これを移項して変形すると

(1＋x^2)y´＝－2x(1＋y)
y´/(1＋y)＝－2x/(1＋x^2)

変形すると

dy/(1＋y)＝[－2x/(1＋x^2)]dx

積分定数を C として，これを積分すると

∫[1/(1＋y)]dy＝∫[－2x/(1＋x^2)]dx ＋C

この積分を計算すると

log(1＋y)＝－log(1＋x^2) ＋C
log(1＋y)＋log(1＋x^2)＝C
log[(1＋y)(1＋x^2)]＝C

(1＋y)(1＋x^2)＝exp(C)　・・・　１の一般解．

2. 2yy´＋logx＋1＝0

この式を変形すると

(y^2)´＋logx＋1＝0
(y^2)´＝－logx －1

積分定数を C として，これを積分すると

y^2＝∫(－logx －1)dx＋C

y^2＝－1/x －x＋C　・・・　２の一般解．

3. 2x＋y＋(x－2y)y´＝0

この式を変形すると

(xy＋x^2－y^2)´＝0

積分定数を C として，これを積分すると

xy＋x^2－y^2＝C ・・・・・　３の一般解

以上です．

お礼

詳しく教えていただきありがとうございます。

回答No.3

OKXavier

ヒントです。

(1)　y'/(1+y)=-(1+x^2)'/(1+x^2)

(2)　(y^2)'=-(logx+1)

(3)　(xy+x^2-y^2)'=0

回答No.2

noname#113983

2なんか、2yy'=(y^2)'に気付けよ！！

回答No.1

noname#185706

いずれも変数分離型です。
3. は y = x t で変数を変えるとわかりやすいでしょう。
あとは御自分でどうぞ。