微分方程式 一般解の求める問題でで特解が求められません

質問

y"-3y´+2y =(e^x)/x (x＞0)

上の微分方程式を解く（一般解を求める）のですが、未定係数法を使っても（どういう形の特解なのかも予想付かず）できませんでした。。

どなたか教えて頂けませんか？

回答No.3

Ae610

ANo.2です。
スミマセン！特殊解および一般解でeのべき指数表記に誤りがありました。
特殊解y2
誤）y2=e^(-2x)・Ei(-x)－e^(x)・logx
正）y2=e^(2x)・Ei(-x)－e^(x)・logx
一般解y
誤）y=A・e^(x) + B・e^(2x) + e^(-2x)・Ei(-x)－e^(x)・logx
正）y=A・e^(x) + B・e^(2x) + e^(2x)・Ei(-x)－e^(x)・logx
(A,Bは任意定数)

回答No.2

Ae610

補助方程式はλ^2-3λ+2=0
よってλ=1,2

故に余関数y1は
y1=A・e^(x) + B・e^(2x)

特殊解y2は
y2=[1/(D^2-3D+2)]・(e^(x))/x (但しD=d/dx,D^2=d^2/dx^2)
=(1/(D-2)-1/(D-1))・(e^(x))/x
=e^(2x)∫[e^(-2x)(e^x)/x]dx－e^(x)∫[e(-x)(e^x)/x]dx
=e^(-2x)・Ei(-x)－e^(x)・logx

よって一般解ｙ(=y1+y2)は
y=A・e^(x) + B・e^(2x) + e^(-2x)・Ei(-x)－e^(x)・logx
(但し、Ei(-x)=∫[e^(-x)/x]dx)

お礼

ありがとうございます！なるほどなるほど。特解はそのようにして説くのですか。わかりやすく丁寧な解説助かります。
Dという記号は確かに教科書に書いてあった気がします。それを確認して回答して頂いた解説を読み解いていきます！　ありがとうございました！！！

回答No.1

ojisan7

この方程式の特解は初等関数で表すことはできません。指数積分関数Ei(x)を使うしかありません。特殊関数Ei(x)については、ご自分で調べてください。講義でEi(x)について教えてもらっていないなら、試験で出題されることはありません。このような問題に時間を費やすより、他の問題を解いた方が賢明です。

お礼

ありがとうございます！特殊関数Ei(x)ですか、少し調べる必要がありますね。（勉強不足で）　確かに試験で出ない以上他の問題を確実に解けるようにしたほうがいいですね。ごもっともです(笑)