ねじり剛性係数と断面二次モーメントの関係

質問

ねじり剛性係数と断面二次モーメントの関係
縦横XYの断面二次モーメント値からねじり剛性係数、またはそれに相等するねじり変形しにくさを表す数値を出す方法を探しています。

いつくかある断面形状のねじり強さの比率を知りたいのです。材質は考慮しません。
単純にXYの断面二次モーメント値をかけ算して、その値の比率で判断していいものでしょうか？

具体的には乗り物のフレームを設計して、すでに一度専用のパイプを試作しました。
予想以上に強かったので断面を小さくして軽量化を図りたいのですが、一体どれくらい落としてよいものか判断がつかないのです。
結局は当てずっぽうなのですが、最初のものに比較して何％ダウンという指標があれば有力な判断材料となります。
宜しくお願いいたします。

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

まず、ねじりの剛性係数をＧＪとします。
ＧＪの定義があいまいなので、明確にしておきましょう。

長さＬの一様断面の棒を、トルクＴで捩じった場合の回転角をθとします。
すると、
θ＝ＴＬ/(ＧＪ)　・・・(1)
と書けます。
ここで、
Ｇ：横弾性係数
Ｊ：捩り断面２次モーメント
です。
このとき、ＧＪが、捩りの剛性係数になります。

このときのＪは、断面形状が円または中空円の場合には、
Ｊ＝Ｉp(断面２次極モーメント)＝Ｉx＋Ｉy　・・・(2)
で定義されます。

また、断面形状が上記以外の場合でも、棒の断面の両端面が変形後も平面となるように拘束されている場合（全周溶接などによって）には、Ｊはやはり式(2)で定義できます。
今の質問の構造の場合、フレームと書いていらっしゃるので、棒の両端面はしっかりと拘束されていると思われ、式(2)が適用できます。

これがあなたの質問に対する直接の回答となります。

以上のほか、棒の断面の両端面が変形後も平面となるように拘束されていない場合のケースについて補足説明しておきます。
棒を両手で握って捩ると、断面が円でない場合には、両端面が変形後は軸方向に波打った形状となって、平面とはなりません。（この現象が顕著に現れる例としては、紙を丸めて筒状にして捩った場合があげられます。）
このような捩りの状態を「サン・ブナンの捩り」と呼びます。
断面が長方形の棒を、両端を溶接せず、補助金具などを用いて、他の部材にねじ止めしているような場合には、このサン・ブナンの捩りが発生しやすくなります。
この場合の注意としては、
Ｊ＜＜Ｉp　・・・(3)
となってしまうことです。
この場合の取り扱い方については、一般の材料力学の本はごまかしているのが普通です。
あなたの場合、「予想以上に強かった」と書かれているので、サン・ブナンの捩りの状態ではなく、両端面がガッシリと他部材に溶接されているケースと推測しています。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
書いていただいた通りの
Ｊ＝Ｉp(断面２次極モーメント)＝Ｉx＋Ｉy
までは検索しまくって辿り着くことができ、その値を元に検討したのですが、サン・ブナンの捩りというのはまったく想定していませんでした。
実は検討している形状は、両端が別部材へ接続されている状態で、まさにサン・ブナンの捩りが起きそうなものでした。
断面は目の字に近いものです。
実際の形状を机上でシュミレーションするのは難しいですね。