断面一次モーメントについて。

質問

昔の記事をみたら断面二次モーメントについては見つかり、
距離の二乗と微小面積の積をかけたものの積分というような理解を
したのですが、それ以前に断面一次モーメントがわかりません。
今、材料力学という科目で演習問題を解いているのですが、理解できません。
図心は一次モーメントを断面積で割ったものが一般的ということですが
それすらも何故だかわかりません。

例題として三角形断面の図心ｃのZ1軸（底辺をｘ軸方向に伸ばした軸です）
からの位置、図心ｃを通るｚ軸に関する断面二次モーメントを求めよ。
という問題を考えています。この三角形の断面一次モーメントが底辺ｂ
高さｈとしたときｂ（ｈ二乗）/6となるみたいですがそれが何故だかが
わかりません・・。

三角形ですから重心は既知ですからこうなるのは納得しますが、積分から
のもってき方がわからないのです。

どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.3

shinkun0114 · ベストアンサー

#2です。

　問題を積分してみました。
底辺周りの断面１次モーメントを求めてみましょう。
まず、底辺からの距離をxとします。
底辺からxだけ離れた位置の、底辺に平行な線の長さをLとします。
この長さLは、以下の式で表せます。
　L＝(h-x)・(b/h)

さて、断面１次モーメントというのは、この長さL（微少な部分の面積)
と距離xを乗じたものを、高さ方向に積分すればいいことになります。

　ΔQ＝L・x＝(h-x)・(b/h)・x
　　 ＝-b/h・x^2 ＋ bx

これをxを0～hまで積分してみましょう。

　Q＝∫-b/h・x^2 ＋ bx dx

　 ＝[-(b/3h)x^3 ＋(b/2)x^2] 0～h

　 ＝-(b/3h)h^3 ＋(b/2)h^2

　 ＝-bh^2 / 3 ＋bh^2 / 2

　 ＝ bh^2 / 6

となります。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
L＝(h-x)・(b/h)の部分がわかりません（涙
(h-x)はわかるのですが・(b/h)をなぜ施すのでしょうか？
今すごい焦っているからか、そこがわからないです・・
よろしければご教授願えないでしょうか？

回答No.7

First_Noel

＞微小面積を算出するのにコツとかってありますか？？
＞円にしろＨ型にしろ、微小面積の式でいつもとまってしまいます。

Ｈ型は，形の変わるところで場合分けします．
円の場合は，
微小円環の面積＝π（ｒ＋ｄｒ）＾２－πｒ＾２
で，２次以上の微小項（この場合ｄｒ＾２）を無視します．
また，扇形に関しては，ｒｄθが扇形の弧長ですので，
これと微小円環とを組み合わせると良いです（お考え下さい）．
（ヒント：θが全体，角度ｄθの扇形の面積は，全体のｄθ／θ倍）

楕円は・・・円と違って円環を使うのではなく，確か台形を使っていたような・・・

お礼

どうもありがとうございました！！

回答No.6

shinkun0114

お解りいただけたようで何よりです。

＞微小面積を算出するのにコツとかってありますか？？
＞円にしろＨ型にしろ、微小面積の式でいつもとまってしまいます。

たしかに円とかは難しいですね。
もっとも、複雑な断面２次モーメントを出す場合も、
実際は積分をすることは少なく、
　bh^3/12（長方形） bh^3/36（三角形） πD^2/64（円)
などを組み合わせて算出する方法があります。
私も仕事で算出することがありますが、
Excelで計算してしまうことがほとんどです。

断面定数の算出は材料力学の入口です。
あまり理論値の出し方にこだわる必要もないでしょう。
今後は、断面定数で積分まですることはほとんど無いと思いますよ。

お礼

遅くなってすみません。
どうにか試験もおわりなんとかなりました。
ありがとうございました！

回答No.5

shinkun0114

＞(h-x)はわかるのですが・(b/h)をなぜ施すのでしょうか？

うーん^^;
これは、三角形を書いて実際にLの長さの式を自分で出してみましょう。
図形の問題は図を描く。これが基本ですよ。

それでもわからないときは、b=8　h=12と置き、
x=6のとき、x=4のときなど、実際にLを求めてみましょう。
がんばってくださいね。

お礼

すみません、なにか引っかかっていたみたいで
今わかりました☆
微小面積を算出するのにコツとかってありますか？？
円にしろＨ型にしろ、微小面積の式でいつもとまってしまいます。
やはり慣れでしょうか？？

回答No.4

shinkun0114

#2＝#3です。
補足をいただいたので、説明します。

＞微小面積となると積分が出てきてしまいますよね？
＞面積をかけては何故いけないのでしょうか？？

　#3でも答えたとおり、断面１次モーメントでも、微小面積をかけて
算出できます。
　ただし、断面１次モーメントの場合、乗じる数が１次、つまり比例関係
にあるので、固まりとして面積を直接かけても、答は変わらないということです。
１次モーメントならではの特例だと考えてください。

　これに対し、断面２次モーメントは、距離の２乗をかけます。
２次放物線を描きますから、比例関係にはなりません。
したがって、まじめに積分しないといけないんですね。

回答No.2

shinkun0114

断面１次モーメントがあまり話題に上がらないのは、
「図心軸の断面１次モーメントはゼロ」
だからだと思いますよ。
それゆえ、断面１次モーメントは、図心の算出に使われるのです。

たとえばこういう問題はどうでしょうか？

　　１本の軽い棒があり、重さの異なるおもりが
　複数ぶら下がっている。この棒が静止するように、
　一点だけを吊すときどこを吊せばよいか？
　（具体的な重さ、おもりの位置は省略）

　この問題を解く場合、力によるモーメントがゼロになる位置を
探しますよね？それがすなわち重心だからです。

　断面１次モーメントというのはこれによく似ています。
　　力(N)　→　面積(m2)
　距離(m)　→　距離(m)
と置き換えて考えればいいだけです。
これをかけ算すると、
　力(N)×距離(m)　＝　モーメント(N・m)
　面積(m2)×距離(m)＝　断面１次モーメント(m3)
という具合です。
また、
　重心(m)　　→　図心(m)
となります。

#1さんの言うとおりで、あまり深く考える必要はありません。

また、断面１次モーメントは図心でゼロになりますが、
断面２次モーメントはゼロにはなりません。
性質が違うものですから、あまり関連性はありませんよ。

お礼

ありがとうございました。
断面一次モーメントは距離×面積となっていますが
断面二次モーメントは距離の二乗×微小面積となっています。
微小面積となると積分が出てきてしまいますよね？
面積をかけては何故いけないのでしょうか？？

回答No.1

houng

あまり難しく考えない方がいいですよ。断面１次モーメントは。。

参考URL：

http://kozo.milkcafe.to/rikigaku2/seinou.html

お礼

レスありがとうございます。
公式があるのは知っているのですが、その公式を導く
積分式、ちょうどリンク先で省略されている部分の過程
の解説が知りたいんです。
例題にやはり三角形のほかに円やＨ型の図形もありました。
試験で公式より～～とはさすがに記載できず・・・。