断面係数と極断面係数

質問

断面係数と極断面係数の違いについて質問です。
中実丸棒の場合、断面係数Ｚは

Ｚ＝πd^3/32

ですが、極断面係数Zpは

Zp＝πd^3/16 となっています。

断面係数は（断面二次モーメント）÷（中立軸からの最大距離）で計算できますが、極断面係数はどうやって計算するのでしょうか。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

断面の正面図が、紙に書かれていると想像して下さい。曲げ作用は、紙面上に横に引かれた中立軸を中心に、断面全体を「紙の前後に回転」させます。
　ねじり作用は、「紙面に垂直な」中立軸を中心に、断面を「紙面内で回転」させます。
　だけど、中立軸を求める発想はどちらも同じです。曲げ作用なら、
　　・曲げ歪みは、中立軸からの符号付き距離に比例する。
　　・曲げモーメントは偶力だから、応力合計は0。
　　・応力は歪みに比例する。
という事から、断面剛性一定なら、
　　∬(y－y0)dxdy＝0
から中立軸位置y0を計算できます。∬の積分範囲は断面全体で、結果は重心ラインです。
　ねじり作用なら、同じ仮定から、
　　∬|r|e(r)dxdy＝0
で計算できます。ここでベクトルrは、ねじりの中立軸位置を(x'，y')とした場合、r＝(x－x'，y－y')で、e(r)はrと左回りに直行する単位ベクトルです。結果は断面剛性一定なら、重心位置を(x0，y0)として、
　　(x'，y')＝(y0，x0)
だったと思います（確認してください）。円形断面なら、やっぱりその中心になります。
　最後に、極断面二次モーメントも、断面二次モーメントと同じ発想で、
　　Ｉp＝∬|r|^2dxdy
です。

お礼

ddtddtddt様
うわーー丁寧なお答え有難うございます。
実際に紙面に円を書いたりしてとても納得出来ました。

>ベクトルrは、ねじりの中立軸位置を(x'，y')とした場合、
>r＝(x－x'，y－y')で、e(r)はrと左回りに直行する単位ベクトルです。
>結果は断面剛性一定なら、重心位置を(x0，y0)として、
　　(x'，y')＝(y0，x0)

後ほどゆっくり確認させて頂きます。
大変勉強になりました。有難うございました。

回答No.2

noname#221368

#1の追伸です。

　それとも、ねじり中心（ねじりの中立軸位置）は、どうやって求めるんだ？、って話でしょうか？

お礼

ddtddtddt様
中実丸棒のねじりの中心軸は断面円の中心を通る軸に平行なものという私の思い込みが間違っている気がしてきました。
もう一度材料力学について勉強してきます。

回答No.1

noname#221368

極断面係数も、
　　(極断面二次モーメント)÷(中立軸からの最縁端距離)
になると思います。中実丸棒であれば、

　極断面二次モーメント（直径d）：
　　Ｉp＝πd^4/32

極断面係数：
　　Ｚp＝(πd^4/32)／(d/2)＝πd^3/16

です。

お礼

ddtddtddtさま
ご回答有難うございます。
頭の中の結び目が少しほどけた感じがしました。

中実丸棒の場合、軸からの最大距離はd/2
断面2次モーメントはπd^4/64

コレを計算すると断面係数Ｚ＝πd^4/32が得られるのはわかるのです。
ここで極断面2次モーメントの求め方が解らないと言う事に気がつきました。ありがとうございます。
断面二次モーメントの求め方はある図形に対し軸を定めた時、図形の微少断面ｄａと軸までの距離の２乗をかけたものだったと記憶しています。
中実丸棒の断面２次モーメントを求める事は出来ます。
大変あつかましいですが、極断面2次モーメントの求め方をご教授願えないでしょうか。