図形の証明

質問

ある図形を証明する時、
その図形の定義が成り立った場合はもちろん、
その図形であると言えますよね。
これは、定義でなく、定理であっても証明可能なのでしょうか？

具体的な例としては、
２辺が等しい三角形（定義）ならば二等辺三角形であるといえますが、
２角（底角）が等しい三角形（定理）は二等辺三角形といえるのでしょうか？
ということです。

自分の頭の中では、
ある図形の定義が成り立てば、その図形が成り立ち、
その図形が成り立てば、定理が成り立つと言った具合なのですが・・・・

回答No.4

noname#24477 · ベストアンサー

どうも質問の意味が理解されていないような気がします。

「ｐ（定義）ならばｑである」という定理があるとき
逆「ｑならばｐである」が言えるのか？使っていいか？

というような意味だと思います。

一般的にはいえません。（逆もいえるかどうかは証明する
必要があります。それも新しい定理になったりします）

定理は成り立つ、というだけで逆は保証していません。

しかし中にはｐとｑが同値（必要十分ってご存知ですか）
というものも有ります。

三平方の定理
直角三角形ならばa^2+b^2=c^2が成り立つ。
これはならばと書いているけれど実は
「直角三角形」と「a^2+b^2=c^2」は同値です。
（どれがｃ？とか言わないように。
わかっているとして省略して書いていますから。）

質問の中で例に出しているものも同値です。
（同値であることは証明できます。証明されてしまえば
使ってもいいわけです。）

お礼

ご回答ありがとうごいます。

＃１～３の方は私がした質問には
正確に答えてくださっていると思います。

しかし私は＃１～３の方々のご回答を読んでいて、
どうも納得できないといった感じでした。
そして、頭の中に出てきた疑問が、
自分の解決したいことは、結局は
＞「ｐ（定義）ならばｑである」という定理があるとき
＞逆「ｑならばｐである」が言えるのか？
という質問に行き着くのではないか？
っといったようなものでした。

ojamanboさんの下さったご回答はその疑問を見事に解消してくださいました。
これこそ、私の求めていた回答です！
正に、核心をついていただいております。

P．S．
私の具体例が必要十分条件のものだったので
なかなかスッキリしなかったようですね。

回答No.3

kbannai

「証明」したことになると思います。

公理（推論の基礎となる命題）や既に正しいと認められた事柄を基にして新しい結果の正しい理由を説明するのが「証明」です。

そして、証明された事柄のうちで、あとの証明に用いられるものを「定理」と言っています。

「定義」とは、いろいろな証明に必要な用語の意味を定めたものです。

ご質問に書かれている具体例では、

２辺が等しい三角形⇔２つの底角が等しい

でしょう。どちらかを定義すれば、もう片方が証明でき、定理となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

fushigichan

humihiro2003さん、こんばんは。

＞これは、定義でなく、定理であっても証明可能なのでしょうか？
＞２辺が等しい三角形（定義）ならば二等辺三角形であるといえますが、
２角（底角）が等しい三角形（定理）は二等辺三角形といえるのでしょうか？

これは、いえますね。
三角形を持ってきて、その底角２つが等しいならば、
それは二等辺三角形になっています。

もちろん、二等辺三角形とは、その名前どおりに、
「２つの辺の長さが等しい三角形」のことですよね←これは定義。
その定義の三角形においては、いつでも、底角は等しいので
底角２つが等しい三角形→二等辺三角形である、といえるのです。

＞ある図形の定義が成り立てば、その図形が成り立ち、
その図形が成り立てば、定理が成り立つと言った具合なのですが・・・・

もちろん、順番的には、まず定義ありき、なんですが、
定義は絶対ですが、定理もまた、一つの公式のようにして使えるのです。
ご参考になればうれしいです。

お礼

ご回答ありがとうございます

回答No.1

noname#4095

そうだと思います！
定理 = 正しいことが証明された定義のうち、よく使うもの
と習った気がします。

お礼

ご回答ありがとうございます