この因数分解は何を知ってれば解ける？

質問

この因数分解は何を知っていれば解けるのでしょうか？
どうやってこの因数分解を解くのかを教えてください。
x^3+9x^2+27x+27

答えが（x+3)^3になりそうだという予測はつきますが・・・

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>答えが（x+3)^3になりそうだという予測はつきますが・・・
公式や因数定理や因数分解の基本手順やたすき掛け法など、どういう場合はどういった方法で解けばいいかを経験を積むことです。こういった因数分解ができるのではという直感も大切で、それをどのように確認したらよいかをマスターすれば因数分解ができてしまったりします。

今の場合「（x+3)^3になりそうだという予測」があれば
公式(x+a)^3=x^3+3ax^2+3(a^2)x+a^3
でa=3を適用して
x^3+9x^2+27x+27=(x+3)^3

この方法一番簡単ですね(A#2の方法)。

A#1の方法と予測(x+3)^3を使えば
x=-3を代入すると与式=0となるから因数定理から与式は因数(x+3)をもつ。
与式を(x+3)で割って商Q(x)の2次式を求めます。
Q(x)=x^2+6x+9
この2次式は
公式(x+a)^2=x^2+2ax+a^2を適用したり、
さらにx=-3を代入してQ(-3)=0からさらに因数定理を適用しても
いいですね。

式をよく観察して共通因数を括りだす方法もあります。
与式=(x^3+27)+(9x^2+27x)
=(x+3)(x^2-3x+9)+9x(x+3)
=(x+3)(x^2+6x+9)=(x+3)(x+3)^2=(x+3)^3

経験を積めばどの方法がスマートな解法か臨機応変に選べるようになります。いつも公式を思いつくわけではないでしょうから、まず面倒でも確実に因数分解できる方法をものにすることが大切ですね。

お礼

お三方ともありがとうございました。
詳しく解説頂き、納得できました。

回答No.2

alice_44

因数分解で最も重要なのは、
経験から生じるカンです。
質問の例では、貴方が (x+3)~3 を予想できた
ことが、何より大切。
あとは、(x+3)~3 を展開して、もとの式と一致
することを確認すれば、完了です。
場数を踏んで、そのような思いつきの引出しを
増やしていってください。

回答No.1

de-tteiu

因数定理
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm

を使えば、解けますね x＝-3を代入してみてください

このような場合は定石としてx^0の項を見ます
今回は27なので、x＝±1、±3、±9、±27　を代入していきます