数学として教えてください

質問

再質問になりますがよろしくお願いいたします。
数年前の私立中学の入試問題からの質問です。
１辺が１０cmの正方形があります。
正方形の各々の角を中心に半径１０cmの４分の１円を正方形の内部に描くと正方形の中に　弧で描かれた四角形が１個、三角形が四個、銀杏の葉形もの4個に分けられます。
その中心部の　四角形の面積の求め方を小学生もできる程度のの　＋、－、×、÷　の計算だけで教えてください。
円の面積、球の体積、1を３で割る、この程度の無理数はよいとして、よろしくお願いいたします。

回答No.13

liar_adan

最初のお礼を見返してみました。

>この質問の主旨は　辺の長さ値を与えられた正三角形の面積を加減乗除の計算で求められる論理の可否を伺うものと解釈してください

これに回答します。
それは「不可能」というのが答です。

回答の中に、√3が出てきている場合、
同じ値を√3を使わずに表す方法はありません。
また、√3は、整数の加減乗除で表すことはできません。

数学的に言うならば
Q(√3)＝Q　？
という問題になりますが、これは成立しないことがわかっています。
つまり、有利数体Qは加減乗除に対して閉じていることがわかっており、
また√3はQに属しないことは容易に証明されるため、
成立しないのです。

また、回答の値にはπも入りますが、
問題を
Q(√3)＝Q(√3, π)　？
としても、これももちろん成立しません。
これが成り立つと、Q(√3)の中にπが含まれることになって矛盾です。

と書いても、何のことかわからないと思いますが、
とにかく大学レベルの代数学を使うと、
「加減乗除だけでこの値は出せない」
ことが証明できるわけです。
これが成り立たないと、私が大学と大学院で過ごした6年間がまったく無になってしまいます。
どうか信用してください。

この問題を解くならば、今までの回答にあるように、

・正三角形の高さの知識を持っている。(一部の小学生なら可能かもしれない)

・問題文に正三角形の高さを記述しておく。

・近似でいいとして、「弧の1/3の2乗」で出す。(＃５さんの方法)
(ただし近似といっても10％ぐらいの誤差が出るところが気になる。
また、「近似」とか「だいたいの値」という語句が入っていなければ、問題として成り立っていない)

のどれかになると思います。

お礼

愚問に答えてくださいました皆様方のご好意に深謝します。

補足

補足します。
この質問の主旨は　辺の長さ値を与えられた正三角形の面積を加減乗除の計算で求められる論理の可否を伺うものと解釈してください
可能と信じて資料を収集しています。
もう一度計算でなく論理として考察して見てください。
現在、定理関係を解析していっます。