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企業の適性診断で出た積分の問題です。
inara1の回答
- inara1
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I = ∫[-∞~+∞] exp( -x^2/a^2 ) dx = √( π/a) ( a> 0 ) をガウス積分といいます。 exp( -x^2/a^2 ) は 偶関数なので、ガウス積分の半分の積分区間では J = ∫[0~+∞] exp( -x^2/a^2 ) dx = I/2 = (1/2)*√( π/a) となります。この J の式 J = ∫[0~+∞] exp( -x^2/a^2 ) を J = ∫[0~+∞] 1*exp( -x^2/a^2 ) と考え、f(x) = 1、g(x) = exp( -x^2/a^2 ) としたときの部分積分 J = ∫[0~+∞] f(x)*g(x) dx = [ F(x)*g(x) ] ( 0~+∞ ) - ∫[0~+∞] F(x)*g'(x) dx F(x) は f(x) を積分したもの を適用すると J = [ x*exp( -x^2/a^2 ) ] ( 0~+∞ ) -∫[0~+∞] x*(-2*x/a^2)*exp( -x^2/a^2 ) dx = 0 + 2/a^2*∫[0~+∞] x^2*exp( -x^2/a^2 ) dx なので、問題の定積分は ∫[0~+∞] x^2*exp( -x^2/a^2 ) dx = a^2*J/2 = (1/4)*a^(3/2)*√(π) で a = 1 としたものです。最初のガウス積分の証明は参考URLに出ています。
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