難問です！

質問

A+B=555となる自然数A,Bに対し、Aの百の位の数と一の位の数を入れ替えた整数（十の位はそのまま）をXとし、Bの百の位の数
と一の位を入れ替えた整数（十の位はそのまま）をYとします。但し、たとえば、1と001、82と082は同じとみなします。

（１） X+Y＝５５５となる（A,B）はいくつありますか？

（２） ５５５以外にX+Yをとる値として考えられる整数をすべて答えなさい。

（３） X＋Yの値が最大になるとき、（A、B）の組はいくつありますか？

わかった方、解説（途中の説明付きでよろしいくお願いします。）

回答No.6

178-tall

>A+B=555となる自然数A,Bに対し、Aの百の位の数と一の位の数を入れ替えた整数（十の位はそのまま）をXとし、Bの百の位の数と一の位を入れ替えた整数（十の位はそのまま）をYとします。但し、たとえば、1と001、82と082は同じとみなします。
>（１） X+Y＝５５５となる（A,B）はいくつありますか？

十進表示からスタートしてみましょうか。
　A = 100a2 + 10a1 + a0
　B = 100b2 + 10b1 + b0

これに問題の条件を加味すると…、
　a2 + b2 = a0 + b0
　a2 + b2 = 4, or 5
　a0 + b0 = 5, or 15
　　　　　↓　三式連立
　a2 + b2 = a0 + b0 = 5
　　　　　↓　
　a1 + b1 = 5

これで、何とかなりませんか？

回答No.5

B-juggler

こんばんは　No.1です

訂正しに来ました。

ちょっと先を越された＾＾；

Ａ＝０はダメでも、Ａ＝１００はＯＫですよね

aliceさんおっしゃるとおりです。

なので下の回答の中で、１００の位が１のとき以降を、
３６通りとしてもらえば、
５つ増えて、２１４通りですね。

まいった～～（＾＾；）

６＾３－２なので、最初から０を入れて考えて、
最後に引いたほうが楽でしたね。

「０」が自然数かどうかが、ちゃんと書いてないのも
変に考えなきゃいけないところで。。

義務教育では「正整数」ですものね。
２１６通りなのかも？

私たちは、指を折って数える数字とよく言います。
　＃代数で使う、Ｎ　なんかはそうですね。

数え上げて間違えていれば世話がないですね＾＾；
ありがとうございます。ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

回答No.4

alice_44

＞ Ａ＝０がダメなのがネックでした。

何を言っているのか暫く解らなかったのですが、
0 は「自然数」じゃない！ということなのでしょうね。
「自然数」が正整数のことか非負整数のことかは、
不毛な宗教論争ですが、義務教育では正整数と習います。
6^3 - 2 = 214 通り…ですかね。

＞ １００の位が１のときも　３５通りが成立するはず。

ここが残念。
A = 100 は、どうなります？

回答No.3

B-juggler

Ｎｏ．１です。だめだなぁ、ちゃんとやんないとヽ（・∀・）ノ　

抜け落ちてる＞＜

（１）だけでもちゃんとやってみましょう

Ａ＝１のとき　Ｂ＝５５４　Ｘ＝１００　Ｙ＝４５５　ＯＫ
Ａ＝２のとき　Ｂ＝５５３　Ｘ＝２００　Ｙ＝３５５　ＯＫ
３，４，５　のとき　大丈夫です。　ここまで５つ。

Ａ＝０がダメなのがネックでした。

Ａ＝６のときは、ダメです。Ｂ＝５４９
Ｘ＝６００　ＮＧですね。　同じように　７～９　までダメです

次は
Ａ＝１０　Ｂ＝５４５　Ｘ＝１０　Ｙ＝５４５　ＯＫ
　＃これを数え損なってました。
Ａ＝１１　Ｂ＝５４４　Ｘ＝１１０　Ｙ＝４４５　ＯＫ
同様に　１２～１５まで　ＯＫ（ここまで６つ）
１６～１９でダメですね
Ａ＝１６　Ｂ＝５３９　Ｘ＝６１０　とかなりますからＮＧ
こういう風に繰り返すと、次はＡ＝２０～２５
同じく　Ａ＝３０～３５，４０～４５，５０～５５
　＃Ａ＝５５　Ｂ＝５００　Ｘ＝５５０　Ｙ＝５　ＯＫですね

Ａ＝６０になるとまたダメですね。
Ｂ＝４９５　Ｘ＝６０　Ｙ＝５９４　でダメですね。

ここまでいくつかっていいますと、
１０の位が０のときの５つ。
１０の位が１のときの６つ。
　　　　　２　　　　６つ・・・
・・・・・・・・・・
１０の位が５のときの６つ。
全部で３５通り。

これは、１００の位が０のときなので、
１００の位が１のときも　３５通りが成立するはず。
例）　Ａ＝１５１　Ｂ＝４０４　Ｘ＝１５１　Ｙ＝４０４　ＯＫ
　　　Ａ＝１３４　Ｂ＝４２１　Ｘ＝４３１　Ｙ＝１２４　ＯＫ

同じく　１００の位２～５のときも大丈夫。
百の位が０，１，２，３，４，５　の６通りのとき、
３５通りあるので、　３５×６＝２１０通り。
１個引かなきゃいけない。
Ａ＝５５５のとき　Ｂ＝０になってしまうから。
よって、２０９通り。あるはずなんだけどな＾＾；

６＾３に届いてないから、異常に不安。

とりあえず、あってないにしても、（２）が見えたような気もします。

回答No.2

alice_44

A の各位の数を p, q, r
B の各位の数を u, v, w
と置きます。
A = 100p + 10q + r
B = 100u + 10v + w
X = 100r + 10q + p
Y = 100w + 10v + u
です。

A+B = X+Y = 555 は、
三元二連立方程式
100(p+u) + 10(q+v) + (r+w) = 555
(p+u) + 10(q+v) + 100(r+w) = 555
となり、
(p+u) = (r+w)
101(p+u) + 10(q+v) = 555　…(*)
と整理されます。

（１）
(*)式の整数解は、
p+u = 5 + 10k
q+v = 5 - 101k (k は整数)
ですから、
0+0 ≦ p+u, q+v ≦ 9+9
を考えれば、
p+u = q+v = r+w = 5
と決まります。
(p,u), (q,v), (r,w) を各々
(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)
から選ぶことができるので、
6^3 通り。

ここで息切れ。

回答No.1

B-juggler

すいません、補足要求です。

丸投げはダメですよ～～。

ご自分でどこまで解けたか書かれてくださいね♪
　＃あるいは、全く分からないのなら「ヒント下さい」
　＃にしてくださいね。

えっと、補足していただきたいのは、

Ａ，Ｂは、入れ替え不可ですか？

例えば、（１，５５４）　と　（５５４，１）は別として
数えるのですか？
　＃多分別として数えるのでしょうが・・・。

多分（１）は１５０個だと思うんだけど。
ちゃんと計算してみます。

補足お願いしますね。