数学IAの問題

質問

こんばんは。問題集の答えが、解説なしの答えだけでどうしても解けない問題があったので質問させてください。

3題あります。1題でもいいのでご教授いただけると助かります。

【問題１】
aを定数とし、２つの2次関数、y=x^2+2x, y=-3x^2+2ax-a+2が交わるときの交点をA（x1,y1) B(x2,y2)とし、
x1x2=y1y2が成り立つ時の、aの値。

[答]　-6/5、2

[途中経過]
y=x^2+2xに、交点のA（x1,y1) B(x2,y2)を代入して、それぞれ、「y1=」と「y2=」にして、x1x2=y1y2に代入したのですが・・・４次になってしまうし・・・文字が多すぎるし、この後どのようにアプローチしていったらいいか分かりませんでした。。。

【問題２】
x,yがともに自然数で,
x>=0
y>=0
3x+4y<=24
をみたす、x,yは何個あり、このうちx+yの最大値を求めよ。

また、x,yがともに整数で｜ｘ｜＋｜ｙ｜<=5　をみたす　x,yは何個あり、このうちxyの最大値を求めよ。

[答]
（前半）18個、最大値7
（後半）61個、最大値6

[途中経過]

これはもう全然意味わかりませんでした…。前半の3つの条件式を図示し、一個ずつ数えていく方法しか思いつきません（汗）

x+yの最大値を求めるためにx+y=k→y=-x+kとして、グラフ上を動かして、切片（k)が最大になる場所を考えようと思ったのですが、自然数という条件が入っているため、考えにくいです。。。
上手く考える方法はあるのでしょうか？

後半は、完全にお手上げです。。。

【問題3】
mを任意の実数とするとき、x,yの方程式
y=mx^2-(2m+a)x-b(m-1)
のあらわす曲線は、すべて相異なる2点（3，0）ともう1点は？

[答]
a=1
b=3
もう一つの点は、(-1,4）

[途中経過]
まず、方程式に（3,0)を代入して、mについてまとめました。
その後、任意のmに対して■＋m▲=0が成り立つことより、
■＝▲=0
として、aとbは求めることはできました。

もう一つの点はどうやって求めればいいのでしょうか？

とりあえず、y=■＋m▲　の形にしたのですが・・・
その後が分かりません。。。

以上たくさんありますが、なにとぞよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

こういう、ひとつの投稿で複数の質問をすることは、基本的に嫌いだが、
[途中経過] を詳しく書いている質問には、なるべく協力したい。

【問題１】
x^2 + 2x = -3x^2 + 2ax -a+2 の解と係数の関係より、
x1 + x2 = (a-1)/2,　x1 x2 = (a-2)/4 が出る。
これを使えば、y1 y2 の計算が大幅に簡略される。

【問題２】
前半の3つの条件式を図示し、一個ずつ数えていく方法が良い。
方眼紙も手元に無く、正確な作図が困難なら、
3x + 4y ≦ 24 となる x が在るような範囲 0 ≦ y ≦ 6 の各 y について、
x の不等式を立てて個数を求め、後で合計すればよい。

後半も、同様。図示を援用して、y が在るような x の範囲を求め、
その各 x について y の個数を求めて、合計する。
y の個数を x の式で表そうとかせず、各 x について個別に
y の個数を計算してゆくのがポイント。ひとつづつ、コツコツ。

【問題3】
その問題文では、意味が解らない。[答え] から想像するに、
＞　mを任意の実数とするとき、x,yの方程式
＞　y=mx^2-(2m+a)x-b(m-1)
＞　の表す曲線は、全て、点 (3,0) を通る。
＞　この曲線が全て通るもう1点は？
ということではないだろうか。

後半、y = ■ + m▲ が任意の m で成立つように、
y = ■ かつ ▲ = 0 を x の条件とする。
▲ = 0 から、x = 3 ともうひとつの x が求まり、
y = ■ から、対応する y が決まる。

何某か参考になれば幸い。

お礼

3つとも答えていただき本当にありがとうございます。
また返答が遅くなりすみません。
今、やっと全部解くことができました！！

ありがとうございます。

問題3はおっしゃる通りの文章です。申し訳ございませんm(_ _)m

回答No.2

gohtraw

問題２
３ｘ＜＝２４－４ｙ
ｙ＝１のとき３ｘ＜＝２０　より　6個
ｙ＝２のとき３ｘ＜＝１６　より　５個
ｙ＝３のとき３ｘ＜＝１２　より　４個
ｙ＝４のとき３ｘ＜＝８　　より　２個
ｙ＝５のとき３ｘ＜＝４　　より　１個
以上１８個で、
３ｘ＋３ｙ＜＝２４－ｘ　であり、ｘの最小値は１なので　３ｘ＋３ｙ＜＝２３　よってｘ＋ｙの最大値は７になります。

グラフを書いてみると、（５，０）、（０、－５）、（－５、０）、（０，５）を結んでできる正方形の内部および辺上ということになるはずです。このうち（例えば）第一象限だけ（座標軸上は後で数えるので今は含めません）数えてみると
ｘ＝１のときｙ＝４，３，２，１
ｘ＝２のときｙ＝３，２，１
ｘ＝３のときｙ＝２，１
ｘ＝４のときｙ＝１
これがあと三つの象限でもおなじだけあるので１０＊４＝４０組、
あとは座標軸上に５＊４＋１＝２１組あるので合計６１組です。

とりあえずここまで。

お礼

2つの回答ありがとうございます。

とても分かりやすかったです。できればベストアンサーを付けたいのですが、3つすべても問題を答えてくれた方に今回はつけさせていただきます。

本当にありがとうございました！

回答No.1

gohtraw

問題１
x^2+2x=-3x^2+2ax-a+2　とおいてｘを求めます。
結構簡単な形になるはずなので、これらをy=x^2+2xに代入してｙを求め、さらにx1x2=y1y2
に代入しても解けると思いますよ。