【数学】大学入試問題【積分】教えて下さい!

質問

f(x)=∫[x=-1,x](ｘ-ｔ)ｔ(e^t^3+1/e^t^3)dtについて
f"(-x)=-f"(x)であることを示せ。

という問題ですが、最初の積分から解けません・・・
どなたか教えてください。
お願いします。

回答No.8

Tacosan · ベストアンサー

#3 のところにある式を (最初の 3項の被積分関数に t を追加して) 持ってくると
f'(x)
=∫[t=-1,x]tAdt+xd/dx∫[t=-1,0]tAdt+xd/dx∫[t=0,x]tAdt-d/dx∫[t=-1,0]t^2Adt-d/dx∫[t=0,x]t^2Adt
= ∫[t=-1,x]tAdt + x^2A - x^2A
となり (第 2項と第 4項は定数を微分するので 0 になる), 後ろの 2つが相殺されて結局
f'(x) = ∫[t=-1,x]tAdt.
でもう 1回微分すると
f''(x) = xA = x(e^(x^3) + 1/e^(x^3)) = 2x cosh x^3.
これは明らかに奇関数. そして f''(1) = 2 cosh 1 > 0, f'(1) = 0 から f(x) は x = 1 で極小になります.

お礼

ご回答ありがとうございます。
何度もお手数を掛けてしまって申し訳ないです。
最初の部分から間違ってましたね;；
coshはまだ勉強していなかった範囲で戸惑いましたが分かりやすい解説で、理解できました。
ありがとうございました!

回答No.7

Tacosan

いや, 計算ごとに「どこか」を間違えてるんですよ....
本当は, 1回微分で最初の積分以外全部消えるはずなんです.

お礼

ご回答ありがとうございます。
何度解いても1回微分で消えません…
途中式を教えていただけませんか？
お願いします。

回答No.6

Tacosan

えぇと.... 微妙に間違ってる....
最後の項の符号に注意して, もう一度 f'(x) から計算し直してみてください.

お礼

ご回答ありがとうございます。
もう一度解き直してみました。
f'(x)
=∫[t=-1,x]Adt+xd/dx∫[t=-1,0]tAdt+xd/dx∫[t=0,x]tAdt-d/dx∫[t=-1,0]t^2Adt-d/dx∫[t=0,x]t^2Adt
=∫[t=-1,x]Adt+(f"(x)計算時に消える項)+Ax^2-(f"(x)計算時に消える項)

f"(x)
=3xA+3x^4(e^x^3-1/e^x^3)

となりました。
計算すればするほど混乱してきてます…。

回答No.5

Tacosan

第2項は + ですよね＞#4.
さておき, #3 のお礼にある式は最初の 3項が間違ってますよ. 被積分関数に t が抜けてます. #2 のところではあっているので, 思わずぬかしちゃった?

お礼

ご回答ありがとうございます。
早速解き直してみました。

f'(x)
=∫[t=-1,x]Adt+xd/dx∫[t=-1,0]tAdt+xd/dx∫[t=0,x]tAdt-d/dx∫[t=-1,0]t^2Adt-d/dx∫[t=0,x]t^2Adt
=∫[t=-1,x]Adt+(f"(x)計算時に消える項)+Ax^2-(f"(x)計算時に消える項)+Ax^2
=∫[t=-1,x]Adt+(f"(x)計算時に消える項)-(f"(x)計算時に消える項)+2Ax^2

f"(x)
=d/dx∫[t=-1,0]Adt+d/dx∫[t=0,x]Adt+4xA+6x^4(e^x^3-1/e^x^3)

どうでしょうか。
最後の２つがまったく計算できないので教えて下さい。
お願いします。

回答No.4

alice_44

そこで躓く？

∫[t=-1,x] f(t)dt = ∫[t=-1,0] f(t)dt - ∫[t=0,x] f(t)dt

お礼

ご回答ありがとうございます。
躓きました…演習不足で分配のことが頭から抜けていました。
これからはx>0の条件がないときは特に分配のことを意識して問題に取り組もうと思います。

回答No.3

Tacosan

もちろん被積分関数が連続であっても積分できるなら積分しちゃった方が安心できると思います. 今の場合は「積分できそうにない」から「積分しない」という方針をとっているだけです.
で実際の処理は #2 に任せることにして (や, 「パクリ」もなにも方針は気づけばだれでもいえて実際に確認するのがえらい) 積分の下限は 0 でも -1 でも 10^1000 でも, 定数であれば同じこと.
∫[t=-1,x](t^2)(e^t^3+1/e^t^3)dt = ∫[t=-1,0](t^2)(e^t^3+1/e^t^3)dt + ∫[t=0,x](t^2)(e^t^3+1/e^t^3)dt
で右辺第1項は定数ですから, 微分すると消えます.
ということで, 例えば「f(x) の不定積分」を
∫^x f(t)dt
と上限を x にして書いてみたり
∫_a^x f(t)dt
のように下限を適当な定数, 上限を x として表したりすることもあります.

お礼

ご回答ありがとうございます。
積分できそうにないのに積分をしようとした数学素人です…。
なるほど、定数と変数に分配したら一気に計算量が減るんですね。
分配して計算してみました。以下(e^t^3+1/e^t^3)=Aとします
f'(x)
=∫[t=-1,x]Adt+xd/dx∫[t=-1,0]Adt+xd/dx∫[t=0,x]Adt-d/dx∫[t=-1,0]t^2Adt-d/dx∫[t=0,x]t^2Adt
=∫[t=-1,x]Adt+(f"(x)計算時に消える項)+Ax-(f"(x)計算時に消える項)+Ax^2
=∫[t=-1,x]Adt+(f"(x)計算時に消える項)-(f"(x)計算時に消える項)+A(-x^2+x)

f"(x)
=d/dx∫[t=-1,0]Adt+d/dx∫[t=0,x]Adt+(3x^2・e^x^3-3x^2/e^x^3)(-x^2+x)+A(-2x+1)

と考えました。
しかし最後のd/dx∫[t=-1,0]Adt+d/dx∫[t=0,x]Adtが消えないので
私の計算が間違っていると思いますが…

回答No.2

alice_44

f(x) = x∫[t=-1,x] t(e~t~3 + 1/e~t~3)dt - ∫[t=-1,x] (t~2)(e~t~3 + 1/e~t~3)dt
と展開して、x と t の在処を分離してみる。

二回 d/dx してみると、あら不思議。
∫ が消えて、f'' が初等的に表示できた。

…って、No.1 さんの回答のパクリだけど。

お礼

ご回答ありがとうございます。
[t=]を[x=]にしてましたね…恥ずかしい;
理論的には理解できましたが

1回目d/dxしたときに
∫[t=-1,x]t(e^t^3+1/e^t^3)dt+x{∫[t=-1,x]t(e^t^3+1/e^t^3)dt}'-{∫[t=-1,x](t^2)(e^t^3+1/e^t^3)dt}'

となると思うのですが、↑２つの{ }'の計算方法がわかりません。
（手元にある参考書などには[t=0,x]の場合しか載ってなくて[t=-1,x]になったとたん理解できません…）

よかったら詳しく教えて下さい。
お願いします。

回答No.1

Tacosan

そもそもこの積分をきちんと計算する必要はない.
要は f''(x) が計算できればいい. そして f''(x) が計算できることは被積分関数が十分になめらかなことで保障されている.

お礼

ご回答ありがとうございます。
被積分関数が連続のときは積分は計算せずに、そのままf'(x)に持ち込めばいいのですね。