極限値

質問

limx/(3^x) (x->∞)　の値は０　これを示せ。

ロピタルの定理は使わないとすれば、どういう変形をすれば、極限値０にもっていけるか。変形のヒントでいいですので、教えてください。

回答No.1

proto · ベストアンサー

xが整数の時を考えて
　　lim[n→∞]{n/(3^n)} = 0
を証明しましょう。

　　3^n = (1+2)^n
と考えて右辺を二項定理で展開すると、
　　3^n = 1 +(nC1)*2 +(nC2)*2^2 + ... + (nCn)*2^n
右辺の項は全て正だから、(nC2)*2^2の項のみを残してのこりを除くともとよりも小さくなる
　　3^n = 1 +(nC1)*2 +(nC2)*2^2 + ... + (nCn)*2^n > (nC2)*2^2
　　3^n > (n*(n-1)/2) * 2^2
　　3^n > 2n(n-1)
両辺の逆数を取ると
　　1/(3^n) < 1/(2n(n-1))
両辺にnを掛けると
　　n/(3^n) < n/(2n(n-1))

よって、n/(2n(n-1))→0を示すことが出来れば、はさみうちの定理よりn/(3^n)→0が示せる。

お礼

整数のときを考えて、２項定理で３＾ｎを変換するというのが
ポイントでしたか。
よくわかりました。ありがとうございます。