背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.13

B-juggler

こんにちは。こんばんはかな。
はい、正しいと判断すれば、そこで証明は終わりです。
私は正しいと判断しています。
　＃終わっているのですが・・。
　＃ちょっとした余裕がありますか

おそらく重要なことは、「間違いを間違いとして認めないこと」はいけませんよね。

間違われてしまったことは、認めてくださいね。お願いしますよ。

前回の投稿にご回答いただいたことから引用いたします。
～～～
●（Aが真でかつ）の部分を私がどかしたとのことですが、ご希望通りに
（Aが真でかつ）を入れて（A∧￢B）⇒￢Aとしましょう。
[(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡{￢(A∧￢B）∨￢A]≡￢A∨B∨￢A≡￢A∨B≡A⇒B
となります。つまりA⇒Bを証明するときに、￢B⇒￢Aを仮定するのはダメと言う私の反論に対して、今度はA⇒Bを証明する前提にA⇒Bを仮定しているのです。これは同語反復と言う恥ずべき論法ですよ。
～～～～
はぁ、なるほど。
そういう主張ですか。
形の上ではそうなりますね。

この論法の趣旨は、「背理法の前提」ですよね。

(Ａ∧￢B）⇒￢A　この式を成り立たせるための、反証Kiを捜すこと
が大事なことではありませんか？
（この式自体は恒真命題ではありませんよね）
論理命題を否定して、反証を捜すことが背理法ですよね。
これはＯＫですか？

[(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡{￢(A∧￢B）∨￢A]
これは成立しています。
が、申し訳ないですが、背理法を考えていくことに
こうする意味がありません。

kabaokabaさんも書かれていますが、実際の証明過程と、
論理式の展開（転回でもいいかもね）が必ずしも等しくないです。

[(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡A⇒B　こうしてしまえば、証明にならないですよ。

命題を一つ挙げてみます。これを入れてみてください。
　＃実際の証明と　どう違うのかをやってみましょう。

命題（初等代数学的整数論　私の強いところです）
「１～３０までの自然数を考える。
その中にある素数のうち、４で割って１余るものを考えると、
互いに素な２つの自然数の２乗和に等しい」

｛ｎ，ａ，ｂ∈Ｎ，ｎ≦３０　１≦Ｐｍ≦３０　ｍ＝４ｎ＋１}

Ｐｍ⇒ａ＾２＋ｂ＾２　（ａの２乗＋ｂの２乗、ａ，ｂは互いに素）

互いに素と言うのは、「１以外に共通の約数を持たない」と言うことです（念のため）。

これを背理法で証明してみてください。

ここのでの私の主張。
実際の証明過程と、論理式の展開（転回でもいいかもね）が必ずしも等しくないです。
これが分かってもらえるかもしれません。

ちょっと最後に、もしかすると、Ｎｏ．１０でＣａｐｅｒさんがあげてくださった、サイトをご覧いただけていませんか？
正しく載っていますが・・・。（背理法の根拠のところ）

お礼

●前回の続きです・・・

数学じゃないとすると、哲学のほうの論理かなと思ったものでして。

・・・問題の解釈（この場合は証明についてになりますね）が
アプローチの仕方が違うかもしれません。

●「背理法」とは論理学の用語です。哲学と論理学で【論理】が違うのですか。理解不能です。

・・・・はい、正しいと判断すれば、そこで証明は終わりです。
私は正しいと判断しています。

・・・・「間違いを間違いとして認めないこと」はいけませんよね。

間違われてしまったことは、認めてくださいね。お願いしますよ。

●正しいかどうかは、ご本人が思い込んだり、認めたりすることではありませんよ。誰が見ても正しいと説明できたり、証明したりすることです。
　相手に認めさせるかどうかは、多数決でもないし権威でもありません。

前回の投稿にご回答いただいたことから引用いたします。
～～～
●（Aが真でかつ）の部分を・・・・
[(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡{￢(A∧￢B）∨￢A]≡￢A∨B∨￢A

・・・・
形の上ではそうなりますね。

●形の上と言うより、貴方も記号論理の式で、((A⇒￢B)∧(A⇒B))⇒￢Aが背理法の根拠式だと主張し、証明したつもりではありませんか。
　それと同一の論法と手段で、上の通りにその誤りを示しているのですが・・・{(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡A⇒Bを認められませんか??!!

kabaokabaさんも書かれて・・・・

●彼はただの屁理屈並べて逃げ出す輩です。他人の言や、権威に依存するのは理論的な議論ではありませんよ。

[(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡A⇒B　こうしてしまえば、証明にならないですよ。

●意味不明な言葉ですね。貴方と同一レベルでの記号化と議論ですが・・・。

省略

●曖昧な例題まで考えなくても、今議論している理屈の中でできませんか。
なぜ今までの記号化している、ご自分の理論の中で証明しないのですか。
、((A⇒￢B)∧(A⇒B))⇒￢A　←←この式の論拠は、例題など関係ありませんよ。例題に入ると、そこでまた曖昧な議論に発散します。

●誰が書いているとか、権威者がどうでなくて、ご自分の頭で理解してる理屈を聞いています。この式が旧友との議論の中にも出てきて、その根拠を示せないままに終わっているのです。こんな式を書いている本は見たことがありませんし・・・。と言う事です。

補足

[(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡A⇒B　こうしてしまえば、証明にならないですよ。
・・・・

●・・・との事でしたが、『証明にならないですよ』と言う意味゛どうもわかりませんが、どういうことでしょうか。数学やとか言ってたようですが、ご専門分野では、このようにな日本語が使われますか。

●前の引用です・・・
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ところで、背理法によって、仮に、
2) (A∧￢B)→￢A
が証明されたとします。つまり、「 A が真であって、B の否定が真であるときに必ず A の否定が真となる 」ことが証明されたとします。
　 2) という合成命題は恒真命題ではありません。ですから、いまここで、2) という命題が常に真であることを証明したとします。

　 そこで、次の合成命題を考えます。
3) ((A∧￢B)→￢A)∧(恒真命題)
　 この 3) は 2) と同値になります。さらに、次の命題を考えます。
4) (A∧￢B)→A
　 この 4) は恒真命題です。さらに、次の命題を考えます。
5) ((A∧￢B)→￢A)∧((A∧￢B)→A)
　 この 5) は 2) と同値になります。同値となる根拠は 3) と 4) です。

　 ですから、2) が証明されれば、自動的に 5) も証明されることになるのだと、私は思います。
・・・・・・・・・
命題によって、￢(A∧￢B) すなわち A→B が証明されるという運びになるのではないかと、私は思います。
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●ここに出てくる、・・・

●『￢(A∧￢B) すなわち A→B が証明される』と[(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡A⇒Bとした、私の説では本質的な違いがありますか。

●『2) (A∧￢B)→￢Aが証明されたとします。』と仮定するのが貴方の根拠とすれば、 [(Ａ∧￢B）⇒￢A}≡A⇒Bの同値性から、・・・貴方も『同値』を使っていますから、・・・それはA⇒Bを仮定することと同じだと言う私になぜ異論が出るのですか。

●貴方たちこそ根拠になる理由が分からないか、背理法の根拠式の間違いを信じたくない理由があって、妄信しているだけではありませんか。
●何故ですか。