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背理法と対偶証明の違いについて
Caperの回答
- Caper
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● 以下の文章は、skoyan さん にあてたものでは決してありません。 B-juggler さん にあてたものです。 ● この質問の回答としては、kabaokaba さん が提示なさいました ANo.1 と ANo.2 が概ね適していると、私は思います。 背理法については、下記の Web ページ に説明があります。長岡技術科学大学の先生による説明のようです。 『 集合と論理 』 ( p.3-4 ) http://pelab.nagaokaut.ac.jp/kondolab/convenience/pdffiles/syugou-ronri-main.pdf ● B-juggler さん による説明には、「 命題 A→B について証明する。 背理法ですから A→￢B を考える 」とあります。 残念ですが、これはまちがいで、命題 A→B を背理法で証明する場合には、A∧￢B を考えるものであると、私は思います。 A→B は ￢A∨B と同値です。記号を用いて示せば、次のようになります。 A→B ≡ ￢A∨B ですから、A→B の否定 ￢(￢A∨B) は、A∧￢B となります。記号を用いて示せば次のようになります。途中で ド・モルガン の法則を用いています。 ￢(A→B) ≡ ￢(￢A∨B) ≡ A∧￢B この ￢(A→B) ≡ A∧￢B から、矛盾を導いて A→B を示すというのが背理法であると、私は思います。 ● いまここで、問題となっている 恒真命題 (= トートロジー) はこれですよね。 1) ((ψ→￢φ)∧(ψ→φ))→￢ψ この恒真命題と背理法による証明がどう結びついているかということを、私は考察してみました。その考察は以下のとおりです。 1) は恒真命題ですから、1) は証明いらずの常に真である合成命題です。また、(ψ→￢φ)∧(ψ→φ) が真であれば、必ず ￢ψ も真になるという合成命題です。 ところで、背理法によって、仮に、 2) (A∧￢B)→￢A が証明されたとします。つまり、「 A が真であって、B の否定が真であるときに必ず A の否定が真となる 」ことが証明されたとします。 2) という合成命題は恒真命題ではありません。ですから、いまここで、2) という命題が常に真であることを証明したとします。 そこで、次の合成命題を考えます。 3) ((A∧￢B)→￢A)∧(恒真命題) この 3) は 2) と同値になります。さらに、次の命題を考えます。 4) (A∧￢B)→A この 4) は恒真命題です。さらに、次の命題を考えます。 5) ((A∧￢B)→￢A)∧((A∧￢B)→A) この 5) は 2) と同値になります。同値となる根拠は 3) と 4) です。 ですから、2) が証明されれば、自動的に 5) も証明されることになるのだと、私は思います。 1) の前提 ((ψ→￢φ)∧(ψ→φ)) と 5) を見比べれば、もうおわかりのとおりです。 2) が証明されれば、自動的に 5) も証明され、そして、1) という更新命題によって、￢(A∧￢B) すなわち A→B が証明されるという運びになるのではないかと、私は思います。 ● 以上の考察では、K1, K2, … , Kn を登場させませんでした。説明が複雑になるからです。ご容赦ください。 ● B-juggler さん に申し上げます。skoyan さん の挑発に乗ってはいけません。時間を無駄にするだけです。
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お礼
● 以下の文章は、skoyan さん にあてたものでは決してありません。 B-juggler さん にあてたものです。 ＊＊ と言う事で私が答えるのは悪いような気がしますが、とんでもない 事を書いているので割り込みます。 ● B-juggler さん による説明には、「 命題 A→B について証明する。 背理法ですから A→￢B を考える 」とあります。 残念ですが、これはまちがいで、命題 A→B を背理法で証明する場合には、A∧￢B を考えるものであると、私は思います。 A→B は ￢A∨B と同値です。記号を用いて示せば、次のようになります。 A→B ≡ ￢A∨B ですから、A→B の否定 ￢(￢A∨B) は、A∧￢B となります。記号を用いて示せば次のようになります。途中で ド・モルガン の法則を用いています。 ￢(A→B) ≡ ￢(￢A∨B) ≡ A∧￢B この ￢(A→B) ≡ A∧￢B から、矛盾を導いて A→B を示すというのが背理法であると、私は思います。 ** ここまでは正解です。 省略 ●・・・ ところで、背理法によって、仮に、 2) (A∧￢B)→￢A が証明されたとします。つまり、「 A が真であって、B の否定が真であるときに必ず A の否定が真となる 」ことが証明されたとします。 2) という合成命題は恒真命題ではありません。ですから、いまここで、2) という命題が常に真であることを証明したとします。 ＊＊ 「B の否定が真であるときに必ず A の否定が真となる」とは式で書 くとどうなりますか。￢B⇒￢Aですよ!! 証明したい元々の式はA⇒Bですね。これは≡￢B⇒￢Aてす。 A⇒Bの証明に￢B⇒￢Aを仮定して意味がありますか。 以下には複雑に推論していますが、仮定が誤りでは無意味です。 ● B-juggler さん に申し上げます。skoyan さん の挑発に乗ってはいけません。時間を無駄にするだけです。 ＊＊ こんな珍説で他人を迷酔わすのはやめて下さい。 このようなスレッドは、もっと優れた方が多いのかと思っていたので 落胆しています。