背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.9

B-juggler

おそらくプロさんだと思うのですが、私では無理です。
先に宣言してしまいましょう。

＞((ψ → ￢φ)∧(ψ → φ))→￢ψ
これが「背理法の根拠」とされているのが分かりません。

私にとってはこれが全てです。
これが違うでしょ？と思うのです。
十分条件だけ否定しても、そこにある意味がつかめないでいます。
　＃私も数学屋ですから（代数系ですが）
　＃「思う」は意思表示だとして、受け取ってください。
　＃プロ同士で私不利な土俵ですし・・。
　＃ケンカするわけじゃないですから

引用はむやみにするものではないですね。。
手書きしてみたんです。　そしたら違いました。

～～～～
数学の証明などで、背理法で証明で・・・というときには、ほとんどが
A⇒Bの命題では￢B、つまりBの否定を仮定して演繹し何らかの矛盾を導き、結果的に￢B⇒￢A[≡￢(A∧K1∧K2∧・・・∧Kn)]≡[￢A∨￢K1∨￢K2∨・・・∨￢Kn]に達し、この対偶としてA≡(A∧K1∧K2∧・・・∧Kn)⇒Bを証明します。
　この導かれた矛盾が、直接的に￢Aの場合が￢B⇒￢Aと通常対偶と呼ばれている形です。しかしこれは潜在的には、Kiのすべてで前提されています。
～～～
重複していますが、すいません、これは対偶証明ですね、気が付くのが遅い！！
　＃再三申し上げている通り、順番は違いますが・・・。

もし背理法なら、こうなりませんか？
命題Ａ⇒Ｂについて演繹的に得られる解をKiとしましょう。

命題Ａ⇒Ｂについて証明する。
背理法ですから、Ａ⇒￢Ｂ　を考える。
ここから得られる解が、￢Ki　つまり
（Ａ⇒￢Ｂ）∧￢K1∧￢K2∧・・・・∧￢Ki∧・・・・∧￢Kn
≡[(￢（Ａ⇒Ｂ）∨￢Ki)]≡[（Ａ⇒Ｂ）∧Ki]・・・(1)
　＃順番がちょっと違いますが、Kiの取り方を変えただけです。

(1)式は∧か∨　か迷うところで　本職に聞かないと自信がありません。ただ、ここは対偶ではないですよね。ド・モルガンなだけでしょう？

これによって、Ａ⇒￢Ｂのとき背理的に　Ａ⇒Ｂ　が得られる。
こういう証明にならないでしょうか。

Ａ⇒Ｂ　の証明をするときに、十分条件のほうだけ否定した答えになるのかなぁ？　と思いまして。
　＃手書きと違うのを気が付かないのも馬鹿な話なんですが＾＾；

プロさんだと、お見受けしています。
なので、ここが分からないと言っていきます。
宣言してますが、論理式は専門外です。
ここが私の限界です。

どっちにしろ本職に一回頼んでみます。
　＃こういう書き込みするのを嫌がる奴なので、あまり期待はしないで下さい。。

申し訳ないですが、質問させてください。
証明をしている、プロセスが違うが論理式に直すと同じものになる。
この場合は、論理形式上は「同じ証明」になるんでしょうか。
　＃それこそ本職に聞けば分かるのですが。。
　＃多分、違う式になるはず、と答えが返ってくると思うのですが。

議論（使われていますので私も使いますね）が平行線をたどるのは、
お互いに違うよ！と思い込んでいるからなのかなぁとも、感じます。

私の証明があっているとして、(1)式から同値を得るときに、対偶を取っていそうな気はします。何かが引っかかります。
同じなのかな？　プロセスが違うと思うけど。

こうなのかな？「背理法の証明では対偶の概念を使う」、でも対偶から演繹的に証明を図るときには、背理法は使わないでしょうし・・。
う～ん。

お礼

残念ながら、私はプロでもなんでもありません。
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＞＞((ψ → ￢φ)∧(ψ → φ))→￢ψ
これが「背理法の根拠」とされているのが分かりません。
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　この説を遠方にいる友人が主張して、頑として譲らず、そのくせ詳しい説明もなく、相手が逃げたままになってるので、謙虚に?自分に誤りがあるのかと色々読んだり考えたりしているだけです。

＞私にとってはこれ・・・・・・。

　＃私も数学屋ですから（代数系ですが）
　・・・・・・

　貴方のほうが自称数学屋というのですから、私よりはプロでしょう。
省略

＞命題Ａ⇒Ｂについて証明する。
背理法ですから、Ａ⇒￢Ｂ　を考える。
ここから得られる解が、￢Ki　つまり
（Ａ⇒￢Ｂ）∧￢K1∧￢K2∧・・・・∧￢Ki∧・・・・∧￢Kn
≡[(￢（Ａ⇒Ｂ）∨￢Ki)]≡[（Ａ⇒Ｂ）∧Ki]・・・(1)
　＃順番がちょっと違いますが、Kiの取り方を変えただけです。

・・・・ド・モルガンなだけでしょう？
・・・・・

　ここでの式が私の式の引用とすれば、引用の間違いです。またド・モルガンの定理と式自体の中には二重の間違いがあります。
　ド・モルガンの定理とは￢(A∨B)≡(￢A∧￢B)、￢(A∧B)≡(￢A∨￢B)のことです。
　従って(1)式の≡は二つとも成り立ちません。また￢(A⇒￢B)≡(A⇒B)と思っているような節がありますが、これも違いますよ。
省略

＞申し訳ないですが、質問させてください。
・・・・・
　具体性が無いのでよくわかりません。

＞議論（使われていますので私も使いますね）が平行線をたどるのは、
お互いに違うよ！と思い込んでいるからなのかなぁとも、感じます。

＞私の証明があっているとして、(1)式、・・・

　貴殿の説は間違いだらけです。
　A⇒Bを証明するというのは、既に証明済みの定理や公理や定義が前提になりA∧K1∧K2∧・・・∧Ki(≡ψ)⇒Bをψ⇒Bと証明するのであり、従って背理法で命題ないし結論を否定して矛盾に至るというのは、￢B⇒￢ψ(￢A∨￢Ki)になることで、その対偶からψ⇒Bが証明されるというのが私見であります。

　もっとお勉強されてから、議論に参加されることを望みます。