背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.7

B-juggler

ちょっと気になってきました。ＮＯ．６です

えっと、論理式には強くないのですが
＞((ψ → ￢φ)∧(ψ → φ))→￢ψ
何でこれが背理法なんだろう？？？？

命題ψ → φを正しいと証明したいのに、ψだけ否定してどうするんだろう？
これなんか違う気がします。

１＋１→２　だとして、　
（１＋１が２ではない）∧（１＋１は２）　ならば　（１＋１）ではない？？
これは何がしたいんだろう？？

＞(￢ψ → ￢φ)→(φ → ψ)は(￢ψ → ￢φ)←(φ → ψ)
これは対偶そのものだし、同値なのは分かります。

変な話ですが、記号論理はおいてみましょう？

私は
「背理法は逆か裏（どっちでもいいんだと思うけど）をとって、矛盾すれば、命題は真」
「対偶法は、対偶をとって、出来た命題を証明することで同値なので証明とする」
と、考えています。
条件とかいろいろと絡んでくるのでしょうが、「反証」なのか「同値のもので別のアプローチをして正しいと導き出す」か。
この違いなのかなぁと思えてきました。

この考え方はどうでしょう？　お考えと違いますか？

これを論理式化する事はやったこと無いから、ちょっと考えて見ます。

私も勉強になりますから、ぜひお話させてください。

お礼

折角の御返信ですが、kabaokabaさんとのやり取りをご覧になりましたか。

「私も勉強になりますから、ぜひお話させてください。」と言うのは大変結構ですが、私が求めているのは、「対偶の証明と背理法は違う」という見解の方の理論です。

　その理屈では((ψ → ￢φ)∧(ψ → φ))→￢ψが、背理法の原理を示すというのですが、kabaokabaさんもかつて論争していた方も、其の解説ができな
いのに、それを妄信しているだけでした。従ってその理屈を聞きたいのです。

　どうやらこの私が誤りと思う理屈の根拠は、高校生向けの教科書か参考書にミスがあって、世間に広く流布されているようです。
　石谷茂氏の【∀と∃に泣く】現代数学社でも、そのようなミスの参考書が数冊見つかったと書いてあります。従って本になっているモノも、先生にもミスはあります。

　貴方はまだ対偶の意味も背理法の意味も、全く理解されてないようです。
書かれている例題も不適切です。初等幾何学の証明例題などで、まず適切な例を見つけるべきです。
　上記の参考書でも入手されて、少し理解を進めてからまた対話しましょう。
背理法と対偶が同一と思う私の見解は、kabaokabaさんへの返信をご覧ください。詳細に書いてあります。

　また念のまために、このようなお話では「そのように思う」とか「らしい」と言うのは使うへき言葉ではありません。