どなたかこの解析学の問題解答書いてもらえませんか？

質問

どなたかこの解析学の問題解答書いてもらえませんか？
φ＝xcos1/x,xノットイコール0、0 x＝0
y＝φ（x）,0≦x≦1/2πで定まる曲線は長さを持たないことを証明せよ。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

数列X(n)を、X(n)=1/{(1/2+n)π}　(n=1,2,…)とする。

φ(X(n))は、
nが偶数のとき、φ(X(n))=1/{(1/2+n)π}
nが奇数のとき、φ(X(n))=-1/{(1/2+n)π}

区間[X(n+1)～X(n)]の間の関数φの長さL(n)は、
L(n)＞1/{(1/2+n+1)π}+1/{(1/2+n)π}＞2/{(n+2)π}
よって、
Σ[n=1…∞]L(n)=∞

曲線の長さはΣ[i=1…∞]L(i)より大きいので発散する。

お礼

完璧な解答ありがとです。理解できました！またよろしくお願いします。

回答No.2

alice_38

いけね。計算間違いあり。
再計算中です…

回答No.1

alice_38

φ'(0) が存在しないことは、問題ありません。
∫[x=ε→π/2] √( 1+(φ')~2 )dx が
ε→+0 の極限で収束すれば、
その値を曲線の長さと見なせます。

題意を証明するには、上記の極限が
発散することを示せばよい。

φ' = cos(1/x) + x( -sin(1/x) )(-1/x~2) だから、
1/x＞0 より
｜φ'｜ = ｜cos(1/x) + (1/x) sin(1/x)｜
≧ -｜cos(1/x)｜ + (1/x)｜sin(1/x)｜
≧ -1 + 1/x が成り立ちます。
これにより、
1 + (φ')~2 ≧ 1 + (-1 + 1/x)~2
= g(1/x)
ただし、g(t) = t~2 - 2t + 2 です。

u = g(t) のグラフを tu 平面に描いてみれば、
十分小さい正の定数 A に対して
g(t) ≧ At~2 が成り立つことが解ります。

したがって、
√( 1+(φ')~2 ) ≧ (√A)/x が成り立ちます。
この式の両辺を 0→π/2 で積分してみれば、
劣積分の発散から、曲線長の発散が言えます。

お礼

alice_38さんすごく丁寧な解答ありがとです。ただ実はOKwave初めて使ったんですが記号とか文字バケしますよね？上の解答でも文字バケだらけなのですが・・・