等差・等比型

質問

和S=3^1*3+3^2*5+3^3*7+…+3^n(2n+1)を求めよ。

このような問題ではSに何かをかけて二つ式を作り、その辺々を引くのが一般的ですが、
別解として、

3^n(2n+1)=a_(n+1)-a_nなるa_n=3^n(pn+q)を考える。

とあり、a_nの式を代入したりしてpやq、そしてSを求めていました。
先ほど書いた文以外の過程は理解できるのですが、上記の文の、漸化式と一般項の関係がよくわかりません。
漸化式が階差型であるのに、一般項が学校で習った形ではなく、
pやqを使った一般形のような形であるのが疑問です。
どなたか教えてください。

回答No.1

hikuta0924 · ベストアンサー

例えば、もし(2n+1)3^n=a_(n+1) - a_nとなるa_nが見つかれば、

S = 3*3^1 + 5*3^2 + 7*3^3 + … + (2n+1)3^n
　= (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) +(a_4 - a_3) + … + (a_n+1 - a_n)
= a_(n+1) - a_1　（打ち消しあう！）
となります。
よってこれは、辺々を引く作業と同じことをしています。
このようなa_nを求めれば、間の項を気にせず、端のa_1、a_nの項だけで和が決定できるからです。

ところで、実はこの
(2n+1)3^n=a_(n+1) - a_n
は、(2n+1)3^nを微分する操作に対応しています。

例えばf(x)を積分したいときは、

f(x) = F'(x)
　　 = lim_h→0 {F(x + h) - F(x) }/ h
となるようなF(x)を求めます。
ここで、左辺二行目のhを1とおくと
F(x + 1) - F(x)
となり、a_(n+1) - a_1に似た形が出ます。

また、例えばf(x)を1からnまで定積分するとき、その値Sは
S = F(n) - F(1)
となり、『F(x)の間の値を気にせずに』端のF(1)、F(n)の値のみで積分の値が決定します。

漸化式の問題と似ていると思いませんか？
このように、今紹介した微分に対応する演算を差分と呼び、積分に対応する演算を和分と呼ぶ差分法・和分法という分野があります。
とくに和分法では色々な数列の和が研究されていて、1^n+2^n+3^n・・・の一般の場合の和を簡単に求められたりなどします。
微分は差分の極限である、など微分との対応もあるので、興味があれば調べてみると面白いと思いますよ。

お礼

結局、a_n=3^n(pn+q)の3^n(pn+q)は3^n(2n+1)を積分した値なのですか?
違うとしたらどうしてa_n=3^n(pn+q)という形になるとわかるのでしょうか？
読んでもここがわからなかったもので…。

回答No.2

hikuta0924

一般項は、Sの一般項3^n(pn+q)の事ですか？

a_n=3^n(pn+q)とおけるのは、天下り的にそうすると上手くいくからそう置いているだけです。
3^nが入っていることから、おそらくa_nにも3^nが入っていて、その係数はnの二次式にはならなそうだからおそらく一次式pn+qだろうと考えた結果、「とりあえずa_n=3^n(pn+q)とおいて試してみよう。」と思い、そうしたらたまたまあっていたという考え方で良いと思います。

漸化式がa_(n+1) - a_nの形をしているのは、先ほど書いたように、打ち消しあわせるためにしています。

いや、積分した形では無いです。積分に似ていることをしている、ということだけです。分かりにくくてごめんなさい。
「ところで・・」以降の事はちなみに・・といったような話なので、あまり関係ないです。

お礼

なるほど、そういうことでしたか。
回答ありがとうございました。
そしてお手数掛けました。