フレネルの式の導出について
- フレネルの式の導出に関して質問があります。x方向の入射波、透過波、反射波の電場の複素表示を用いて、境界条件として連続性を要求する式がなぜ成り立つのか疑問です。
- 境界条件で必要なのは実部の連続性のはずですが、なぜ式では虚部も等しいとしているのでしょうか。
- フレネルの式の導出についての理解を深めるために、E_x^i + E_x^r = E_x^tという式の根拠について教えていただけませんか。
- ベストアンサー
フレネルの式の導出について
フレネルの式の導出に関する質問です。 たいていの本(「光学の原理」など)に合わせて 境界面をxy-面とし、 x方向の入射波、透過波、反射波の電場の複素表示をそれぞれ E_x^i、E_x^t、E_x^rとします。 境界条件として、電場のx方向の接線成分が境界面の前後で 連続であることを使用しますが、そのときに E_x^i + E_x^r = E_x^t …(1) とするのはなぜでしょうか？ 境界条件で必要とされてるのは実部だけのはずであり Re(E_x^i) + Re(E_x^r) = Re(E_x^t) …(2) だけが成立するはずであり、虚部も等しいとする式(1)は 厳しすぎるのではないか思うのですが。 どなたかご回答いただけないでしょうか。 以上、よろしくお願いします。
- mamoru41
- お礼率100% (1/1)
- 物理学
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
平面波を扱うとして、 E＝E0 e^{i(kx-wt+δ)}=E0 cos(kx-wt+δ) + i E0 sin(kx-wt+δ) (E, E0, k, xはベクトル) なので、実部が一致すれば自動的に虚部も一致します。 境界面で位相が一致する条件を求めると反射・屈折の法則が導かれる、 逆に言えば、反射・屈折の法則が成り立つことを認めておけば、 位相は常に等しくなるので、振幅E0だけの関係を求めればすみます。 これがフレネルの公式です。
関連するQ&A
- 真電荷を持つ境界での境界条件
誘電率がそれぞれε1、ε2の異なる2つの誘電体の境界面に面密度σの真電荷が存在する場合を考える。 境界における電界及び電束密度の接続の条件（境界条件）を求めよ。 という問題です。 まず、電束密度の法線方向については、境界を含む微小円筒表面に対してガウスの法則を適用して （D1-D2）・ｎ＝0 （D1，D2は電束密度、ｎは境界面法線単位ベクトルです） を得ました また、上の式から (ε1E1 － ε2E2)・n = 0 （E1,E2は電場です） を得ました 次に電場の接線方向について、境界を含む長方形の閉曲線を考え、境界面に垂直な辺を無限小にとり、この辺からの寄与を無視することで、rotE=0より （E1-E2)・ｔ＝0 （E1,E2は電場、tは境界面接線方向単位ベクトルです） また、上の式から （D1/ε1 - D2/ε2）・ｔ＝0 を得ました ここから境界条件を求めるのだと思うのですが、どうやったらいいか分かりません。 何を示せば境界条件となるのかがわからないのです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- フレネルの公式の条件式
フレネルの公式を求めるときの条件式に，Ei + Er = Et があります． ただし，Eiは入射光，Erは反射光，Etは透過光の電場ベクトルで，今回はs偏光を考えています． 私は入射光と反射光の電場ベクトルを足したものが透過光の電場ベクトルに等しいというのが納得できません． というのも，入射してきた光が反射光と透過光に分かれるのでイメージ的には Ei = Er + Et だと思えてしまうからです． 光を粒子だと考えると余計にそう思えてなりません． 私の考えは何がまずいのでしょうか．
- ベストアンサー
- 物理学
- 複素数の絶対値の二乗
E = A exp i(ωt - φ1) + B exp i(ωt - φ2) ・・・ <複素振幅の式です> の絶対値| E | をとって2乗するとき, どのようにすればよいですか？ 答えは| E |^2 =√( A^2 + B^2 + 2AB cos(φ1 - φ2))になります cosとsinの式に直し, 実部と虚部に分けて|x + i y |^2 = (√(x^2 + y^2))^2 の 関係を使ったのですが, なぜこのような解になるかがわかりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 磁界の式による電界の式の導出
電磁気学の問題を解いていたところ以下の問題が分かりませんでした。自分なりに答えを出したものの、これで正解なのかどうか分からないため、皆さんよろしくお願いします。 真空中をz方向に伝播する電磁波の磁界がH(z,t)=Asin(ωt-bz)iであったとする。ただしi,j,kをそれぞれx,y,z方向の単位ベクトルとする。また、真空中の特性インピーダンスをηとする。 ・電界E(z,t)の式を導出せよ。 ｜E｜=｜H｜η=Aη 電界Eは磁界Hに対して直交なので、 E(z,t)=Aηsin(ωt-bz)j
- 締切済み
- 地学
- 誘電体の中に誘電体がある場合について
比誘電率ε_2の大きな誘電体の中に比誘電率ε_1の誘電体の球(半径R)が埋め込まれていて，全体に対して外から+x方向を向いた一様な電場E_0がかかっている．このときの誘電体球の内部の電場を求めよう． 2種類の誘電体の内部での電荷密度はゼロなので，各誘電体の内部での電位(r)はラプラス方程式△V(r)=0の解である．境界面に分極電荷が現れるが，分極電荷の作る電場は遠方ではゼロになる．そこで，前節の例を参考にすると，電位はV(r)=-(E_0)rcosθ+acosθ/r^2 (r＞R) a:定数 , V(r)=-E_1rcosθ (r＜R)という形をしていることがわかる．(ここでは電位がこのようになるとしておいてください，この式が成立するというのはわかります) cosθ/r^2という形の項は球の中心で無限大になるので，誘電体球の内部の解には含まれていない．したがって，誘電体球の内部の電場E_1は外部からかけた電場E_0に平行で一様であることがわかる． まず一つ目の質問なのですが，なぜここでE_1とE_0が平行で一様であるということがわかるのでしょうか？ 式が成立するのはわかりますが，なぜこの事実が言えるのかということがわかりません． また本の続きですが，2種類の誘電体の境界面(r=R)に分極電荷が存在するので，境界面で電場は不連続であるが，電位は連続なのでa=(E_0-E_1)R^3という関係が得られる． 2種類の誘電体の境界面で電束密度の外向きの法線方向成分D_n=(ε_r)(ε_0)E_n=-(ε_r)(ε_0)∂V/∂r・・・(1)は連続なので(ε_1)E_1=ε_2(3E_0-2E_1)・・・(2)という式が導かれる． E=-gradVというのはわかるのですが，なぜE_n=-∂V/∂rというようにr方向のみに依存しているということがわかるのですか？ この場合，電場はθ方向などにも依存するのでは・・・． また，(1)が成り立つと認めた場合に(2)をどのようにして導いたのかがよくわかりません． 分かる方がいらっしゃいましたら教えていただけると本当に助かります． よろしくお願いいたします．
- ベストアンサー
- 物理学
- 磁界の式による電界の式の導出について
電磁気学の問題を解いていたところ以下の問題が分かりませんでした。自分なりに答えを出したものの、これで正解なのかどうか分からないため、皆さんよろしくお願いします。 真空中をz方向に伝播する電磁波の磁界がH(z,t)=Asin(ωt-bz)iであったとする。ただしi,j,kをそれぞれx,y,z方向の単位ベクトルとする。また、真空中の特性インピーダンスをηとする。 ・電界E(z,t)の式を導出せよ。 ｜E｜=｜H｜η=Aη 電界Eは磁界Hに対して直交なので、 E(z,t)=Aηsin(ωt-bz)j
- ベストアンサー
- 物理学
- 電束密度D、電場Eの境界条件について
電束密度D、電場Eの境界条件についての質問をさせていただきます。 DとEの関係はＤ＝εＥだと思うのですが、境界条件では境界面に対して平行方向に電場が等しく(Ｅ１＝Ｅ２)、垂直方向に電束密度が等しい (Ｄ１＝Ｄ２)と書かれています。 ＤがＥの倍数で表せられるのに何故境界条件は垂直方向では Ｄ１＝Ｄ２、平行方向ではＥ１＝Ｅ２となるのか分かりません。 私にはどちらも同じ方向で等しいとして良いように感じています。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 電気回路（交流回路）
図の回路に関しての問題ですが、教えてください。電流Ｉ１とＩ２の大きさが等しく、Ｉ１の位相がＩ２に比べπ/２進む場合のＬ，Ｃ,Ｒ１,Ｒ２間の条件式を求めよ。 という問題です。※掲載されている回路図は自分で書きました。 で、回路図からＩ１はＩＩ＝（１＋ｊωＣＲ１）Ｅ/Ｒ１、同様にＩ２＝Ｅ/（Ｒ２＋ｊωＬ）です。 で、「電流Ｉ１とＩ２の大きさが等しく、Ｉ１の位相がＩ２に比べπ/２進む場合」はＩ１/Ｉ２＝ｅ＾（ｊπ/２）＝ｊでその式に先ほど求めたＩ１・Ｉ２を代入すると（１+ｊωＣＲ１）（Ｒ２＋ｊωＬ）＝ｊＲ１になる。その式を実部と虚部にわけると、（Ｒ２－ＬＣＲ１ω＾２）＋ｊ（ωＣＲ１Ｒ２＋ωＬ－Ｒ１）＝０になるのですが、ここからがわかりません。テキストには実部と虚部が０になり、連立方程式ができると書いてあるのですが・・・。なぜ０になるのですか・
- ベストアンサー
- 物理学
- | e^(-jIm(z)t) | = 1？
次の定積分を求めよ。 ∫[0,∞] e^(-zt) dt ただしRe(z)>0 という問題で =[- e^(-zt)/z][0,∞] までは分かったんですが、それ以降が分からず答えを見ると、 =1/z ∵e^(-zt) = e(-Re(z)t) * e(-jIm(z)t) | e^(-jIm(z)t) | = 1 だから と書いてあります。 jは複素数の虚数です。iと思ってもらってかまいません。 e^(-zt) = e(-Re(z)t) * e(-jIm(z)t) の部分は実部と虚部で分けているのは分かります。 でも、| e^(-jIm(z)t) | = 1 が分かりません。 どうやって計算するのか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 電気回路学の問題です。
電気回路学の問題です。 Ｒ・Ｌ・Ｃが直列に接続された回路の合成インピーダンスＺは Z=R+j(ωL-1/ωC) となり、Ｚの実部Ｒは周波数に依存しないが、虚部X=ωL-1/ωCは周波数に依存する。 電源電圧をＥとすると、回路に流れる電流Iは、 I= E/Z = E/R+j(ωL-1/ωC) で与えられる。 ωL-1/ωc＝0となる角振動数ω0は√（1/LC）となり、そのときIは実数になる。 よって、入力電圧Eに対する電流Iの位相差は0である、 ところで、R=|X|となる角振動数ω1とω2（ω1＜ω2）は、 ω1=-R/2L+√(R^2/4L^2 + 1/LC) ω2=R/2L+√(R^2/4L^2 + 1/LC) となる。実部と虚部の大きさが等しいので入力電圧Eに対する電流Iの位相は各々、π/4 -π/4となる。 この時、RLC直列回路のインピーダンスＺのベクトル軌跡を縦をIm、横をReとして、 複素平面上に表せ（ω0、ω1、ω2） です。 授業で聞いていて、式を導く所まではわかったのですが、表せって言われてから何が何だか全然わからなくなって困っています； 是非御答え御願いします。
- 締切済み
- 物理学
お礼
なるほど。 実部を一致させようとすると、必然的にE0とδが決まってしまう ということですね。 そうすると虚部も一致せざるを得ないと。 その結果、複素振幅としても一致してしまう。 大変勉強になりました。