z=rexp(iθ) 実部と虚部

質問

z=rexp(iθ) ,　|r|＜1とする

(1)1/(1-z)=1+z+z^2+....の実部と虚部を比べてcos,sisについての公式を出せ

(2)｛1-z^(n+1)｝/(1-z)=1+z+.....+z^nの実部と虚部を比べてcos,sisについての公式を出せ

お願いします...(>_<)

回答No.2

noname#232123

z=r*exp(i*θ), (0<r<1) とします。また、sinθ=s, cosθ=c と略記します。
1/(1-r)=1/{1-r(cosθ+i*sinθ)={1-rc+i*rs}/{(1-rc)^2+(rs)^1}={1-rc+i*rs}/{1-2rc+r^2}
より、
Re{1/(1-z)}=(1-rc)/(1-2rc+r^2), Im{1/(1-z)}=rs/(1-2rc+r^2).
一方、右辺をまとめ、Re, Imを比較して次を得ます。
Σ[n=0 to ∞]r^n*cos(nθ)=(1-rc)/(1-2rc+r^2),
Σ[n=1 to ∞]r^n*sin(nθ)=rs/(1-2rc+r^2),
とりあえず(1)のみUPします。

補足

回答ありがとうございます！
(1)は理解できました、
ただ(2)の左辺の展開の仕方がわかりません...
引き続き回答お待ちしております(>_<)

回答No.1

bran111

sis？

補足

すいません、ミスです。
sis→sin です。
ご指摘ありがとうございます。