平板を過ぎる流れについて

質問

理想流体中の円柱を過ぎる流れを
ジューコフスキー変換して平板を過ぎる
流れを求めると、

W=U(z*cosα-i√(z^2-4*a^2)sinα)

と計算できました。
しかし、α=±π/2を代入すると実部が、
すなわち速度ポテンシャルが恒等的に0、
α=0,πを代入すると、虚部が、
つまり流関数が恒等的に0となって
しまいます。

ジューコフスキー変換において、
α=±nπ/2を禁止する制約はなかったと
思いますが、なぜこのような矛盾が
生じてしまうのでしょうか？

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

ご質問のＷはｚ平面の一様流がx軸と傾き角αをなして流れており（←その座標軸x'-y'軸を持つ平面をｚ'平面とする）、そのような流れの中に半径ａの円柱がある場合の複素ポテンシャルは
　Ｗ＝Ｕ(ｚ'＋ａ^2/ｚ')　　(1)
ｚ'平面とｚ平面は角αの傾きをなしているから、流れの中の任意の点のｘ'軸からの角度をθとすると
　ｚ＝ｒexp{i(θ＋α)}＝ｒexp(iθ)exp(iα)＝ｚ'exp(iα)　(2)
これから
　ｚ'＝ｚexp(－iα)　　(3)
ｚ平面における複素ポテンシャルは(1)(3)より
　Ｗ＝Ｕ(ｚexp(-iα)＋(ａ^2exp(iα)/ｚ)　　(4)
となります（←絵を描いてチェックしてください）。次に
　ζ＝ｚ＋(ａ^2/ｚ)あるいはｚ＝(ζ＋√(ζ^2－4ａ^2)/2)　(5)
によってｚ平面上の半径ａの円柱はζ平面（ξ-η軸）上の長さ4ａの平板に写像されるから、ζ面上の流れは複素ポテンシャルは(5)を(4)に代入して
　Ｗ＝Ｕ(ζcosα－i√(ζ^2－4ａ^2)sinα)　　(6)
となります。これがご質問の複素ポテンシャルですね。この流れの特長としてζの十分大きいところでは(6)に右辺第2項√(ζ^2－4ａ^2)≒ζで、Ｗ＝Ｕ(cosα－isinα)ζとなり、ξ軸と角αをなす速度Ｕの一様な流れになることがわかります。さて、ここでαは何かということですが、これは流れの角度でしたね。するとα=±π/2の場合はζ平面のξ軸に平行な流れを意味しているだけですし、α=0,πの場合はη軸に平行な流れを意味しているだけですね。例えばα＝０の場合の速度ポテンシャルφを求めると(6)より
　Ｗ＝Ｕζ＝Ｕ(ｚ＋(ａ^2/ｚ))
　　＝Ｕ(ｒ＋ａ^2/ｒ)cosθ＋iＵ(ｒ－ａ^2/ｒ)sinθ
　　＝Ｕ(φ＋iψ）　（φ：速度ポテンシャル、ψ：流れ関数）
∴φ＝Ｕ(ｒ＋ａ^2/ｒ)cosθ
となります。あとのケースはご自分で計算してみてください。

お礼

すみません、
W=U(z*cosα-i√(z^2-4*a^2)sinα)
は、実部がU*z*cosαで、虚部が-U√(z^2-4*a^2)sinα
かと勘違いしていて、
α=0を代入すると、実部がUz、虚部が0
（つまり流関数が恒等的に0＝流れが存在しない）
と勘違いしていました。

しかしzも複素数なので、
>実部がU*z*cosαで、虚部が-U√(z^2-4*a^2)sinα
なんて単純なことは言えないんですね。

KENZOUさんの、
>　Ｗ＝Ｕζ＝Ｕ(ｚ＋(ａ^2/ｚ))
>　　＝Ｕ(ｒ＋ａ^2/ｒ)cosθ＋iＵ(ｒ－ａ^2/ｒ)sinθ
>　　＝Ｕ(φ＋iψ）　（φ：速度ポテンシャル、ψ：流れ関数）
>∴φ＝Ｕ(ｒ＋ａ^2/ｒ)cosθ

の展開を見ていて気づきました。
ありがとうございます。

ちなみにですが、ζ＝ｚ＋(ａ^2/ｚ)
の逆変換は、ｚ＝(ζ＋√(ζ^2－4ａ^2)/2)に加えて、
ｚ＝(ζ-√(ζ^2－4ａ^2)/2)もあるように思われます。
片方だけを取るのは正解なのでしょうか？

円周に戻る変換の場合、
ｚ＝(ζ＋√(ζ^2－4ａ^2)/2)が上側の円周に戻る変換、
ｚ＝(ζ-√(ζ^2－4ａ^2)/2)が下側の円周に戻る変換
ですよね？
そのほかの場所については、
ｚ＝(ζ＋√(ζ^2－4ａ^2)/2)だけを考えれば
十分なのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.2

KENZOU

＃１のKENZOUです。
＞ちなみにですが、ζ＝ｚ＋(ａ^2/ｚ)
の逆変換は、ｚ＝(ζ＋√(ζ^2－4ａ^2)/2)に加えて、
ｚ＝(ζ-√(ζ^2－4ａ^2)/2)もあるように思われます。
片方だけを取るのは正解なのでしょうか？

ζ＝ｚ＋(ａ^2/ｚ)をｚについて解くと
ｚ＝(ζ±√(ζ^2－4ａ^2)/2）となりますね。ここで通常
ｚ＝(ζ＋√(ζ^2－4ａ^2)/2）を採用する理由ですが、それは次のような事情からきていると思います。ｚは半径ａの円周および円の外側の領域で定義されていますね（|ｚ|≧ａ）。ｚ平面上の点とそれを写像したζ平面上の点は１：１に対応しています。だからζ平面での無限遠はｚ平面での無限遠に対応しなければなりません。つまり|ζ|＝∞に対して|ｚ|＝∞が対応するのは符号がプラスの
ｚ＝(ζ＋√(ζ^2－4ａ^2)/2）
の関係式となります。

お礼

なるほど。
確かに、z平面に戻る変換の場合、
ｚ＝(ζ＋√(ζ^2－4ａ^2)/2）は円周の外側の
領域と１：１の対応ですね。
ｚ＝(ζ－√(ζ^2－4ａ^2)/2）は円周の内側に
変換されることがわかりました。
円柱まわりの流れを考える場合、円周の外側
だけを考えればよい、つまり
ｚ＝(ζ＋√(ζ^2－4ａ^2)/2）だけ考えればよいと。

なんとか理解できそうです。
ありがとうございました。