以前と同じ質問

質問

以前と同じ質問なのですが、
　　一様な電場E₀（ベクトル）の中に、帯電していない半径Rの導体球を置いた。　この時、球の回りに生じる電場は、球の中心に置いた電気双極子モーメントｐ（ベクトル）＝４πε₀R³E₀が発生する電場と電場E₀を重ね合わせた電場と同じになることを証明せよ。　
　E₀は球の回りを、同じ方向を向いています。下の図
　　→　→　→　→　→
　　→　→　球　→　→
→　→　→　→　→
　このような問題を、ラプラス方程式は、すべての境界における境界条件が与えられているとき、ただ一つだけ解をもつことから、全体の電位φがラプラス方程式を満足し、かつ、無限円および球面上での境界条件を満足することを示すやり方で解いていただけませんか？

　また、E₀によって球面に誘導される電荷の面密度分布はσ(rベクトル)=3ε₀E₀・n(r)=3ε₀E₀cosθ[c/m²]であることを、導体の表面に面密度σが分布しているとき、導体表面の電場はE=σ/ε₀で表されることを用いて求めよ。ただし、n(r){ベクトル}は球面上の位置r(ベクトル)における法線ベクトルであり、θはrとＥ₀のなす角である。という問題です。

　これらの問題を解答方針だけでもいいので教えていただけませんか？　よろしくお願いします。

回答No.1

heboiboro

外部電場E_0の方向をz軸にとり、また球の中心を通りz軸と直交する平面をxy平面とします。
また、外部電場E_0の電位をz=0を基準にとって、φ_0 = -E_0z とします。

前半の簡単な方針だけ述べると、「球の中心に置いた電気双極子モーメントｐ（ベクトル）＝４πε₀R³E₀が発生する電場と電場E₀を重ね合わせた電場」の電位が、
・無限遠で -E_0z と等しくなること
・球面上で一定値をとること
を示し、またこの（仮想的に置いた）電気双極子の総電荷がゼロであること（これは自明）を言えばいいと思います。
このとき、z軸方向を向いた電気双極子モーメントpが作る電位が pz/4πε0r^3 となることを使います。

後半は、「導体表面の電場はE=σ/ε₀で表される」ことを用いて面電荷密度を求めよとのことなので、要は導体表面（正確に言えばそのほんの少し外側）における電場を求めればよいことになります。
この電場は、いま求めた電位(電気双極子モーメントによる電位と外部電場による電位の和）をrで微分してr=Rとすれば求められます。

頑張ってください。

補足

ありがとうございます。おかげで解くことができました。　

　しかし、どうして
「・無限遠で -E_0z と等しくなること
　・球面上で一定値をとること
　を示し、またこの（仮想的に置いた）電気双極子の総電荷がゼロであること（これは自明）を言えばい　いと思います。」
これが言えればいいのかがわかりません。よろしければ教えてください。