天秤の問題

質問

12個の玉があります。その中に１個だけ重さの
違う玉があります。（重い／軽いは分からない）
天秤を何回使ったら違う重さの玉をみつけられますか？

（解法の過程も教えて下さい）

回答No.5

jun9031 · ベストアンサー

３回で見つけられます。

１２個の玉を４こずつ３つのグループ（Ａ，Ｂ，Ｃ）に分けます。

で、仮にＡ１～Ａ４、Ｂ１～Ｂ４、Ｃ１～Ｃ４と玉に名前をつけてみます。

最初にＡとＢを比べます。（１回目）
（１）つりあった場合はＣに違う重さのものがあります。（言い換えればＡとＢの玉の重さは全部同じです。）次にＣの中から２個（Ｃ１、Ｃ２）、ＡまたはＢから２個取り、はかります。（２回目）
（１－a）つりあった場合はＣの残りの２個（Ｃ３，Ｃ４）に違う重さの玉があります。そのどちらかと、Ａ、Ｂのどちらかの玉をはかり（３回目）、つりあえば残りのＣの玉が重さが違います。
（１－ｂ）つりあわなかった場合は、Ｃ１とＡまたはＢの玉を比べます。（３回目）つりあえば残りの玉（Ｃ２）の重さが違います。つりあわなければＣ１の重さが違います。

（２）つりあわなかった場合が少しやっかいです。
Ｃはすべて同じ重さです。また、ＡかＢのすべての玉は同じ重さです。（当たり前ですが重要です）
今、仮にＡの方が軽かったとします。
（Ａのいずれかが他のものより軽いか、Ｂのいずれかが他のものより重い←重要）

Ａの玉をＡ１とＡ２～Ａ４に分けます。
Ａ１とＣ１～Ｃ４をひとつのグループＡ’とおきます。
また、Ｂ１とＡ２～Ａ４をひとつのグループＢ’とおきます。

次にＡ’とＢ’を比べます（２回目）

（２－a）つりあった場合
Ａの玉すべてとＢ１とＣは同じ重さです。
Ｂ２～Ｂ４のいずれかの重さが違います。
しかも一個だけ違う重さのものは他のものより
重いことが分かります。（Ａの方がＢより軽かったから）で、Ｂ２とＢ３を比べます。（３回目）
重いほうが他のものと違う重さ、つりあえば、Ｂ４が違う重さです。

（２－ｂ）Ａ’の方が軽かった場合
ＣとＢ２～Ｂ４の重さは同じです。
Ａの方がＢより軽かったことから
Ａ１が他のものより軽い、またはＢ１が他のものより重いと分かります。
次にＡ１とＣのどれかを比べます。（３回目）
つりあえばＢ１が違う重さ。つりあわなければＡ１が違う重さです。

（２－ｃ）Ａ’の方が重かった場合
ＣとＢ２～Ｂ４の重さは同じです。
Ｂ１が重ければＢ’が下がるはずなのでＢ１は重くありません。よって重さの違う玉はＡのいずれかで、他の玉より軽いはずです。
Ｂ’の方が軽いため、Ａ２～Ａ４に違う重さの玉が含まれます。
次にＡ２とＡ３を比べます。（３回目）
比べて軽い方が他の玉と重さの異なる玉です。
つりあえばＡ４が重さの異なる玉です。

このようにどの玉の重さが違うとしても
３回で見分けることが可能です。

お礼

とても、よくわかりました。ほんとにありがとうございました。
それにしても、難しいですね。

回答No.6

nabeyann

３回で見つけられます。
6個＞6個　　重い方を次の天秤に
3個＞3個　　　　　〃
1個≧1個で最後の1個の重さも分る。

お礼

最初の段階で、重さの違う玉が重いか、軽いかは、わかんないんですけど・・

回答No.4

juvi

ほー、知りませんでした。と言っても、教えていただいた回答は読む気も起こらないほど難解そうですので、「間違っている」ことだけ確認させていただきました。
あまりのお恥ずかしさに、声も出ません。冗談をおいて、いま恥ずかしさのあまり、汗が出てきました。おまけに１０個と勘違いしてるし・・・。#3は読まないで！

回答No.3

juvi

５回ではないですか？

１．まず、４個ずつ左右に乗せます。釣り合えば、乗せた８個は全部同じ重さです。

２（１）．８個のうちの１個と、乗せなかった２個のうちの１個ずつをはかって、釣り合わない方が重さが違います。

２（２）．４対４で釣り合わなければ、次にまた２個抜いて３対３で乗せます。釣り合えば、乗せた６個は全部同じ重さです。

３（１）．６個のうちの１個と、乗せなかった２個のうちの１個ずつをはかって、釣り合わない方が重さが違います。

３（２）．３対３で釣り合わなければ、次にまた２個抜いて２対２で乗せます。釣り合えば、乗せた４個は全部同じ重さです。

４（１）．４個のうちの１個と、乗せなかった２個のうちの１個ずつをはかって、釣り合わない方が重さが違います。

４（２）．２対２で釣り合わなければ、次にまた２個抜いて１対１で乗せます。釣り合えば、乗せた２個は全部同じ重さです。

５（１）．２個のうちの１個と、乗せなかった２個のうちの１個ずつをはかって、釣り合わない方が重さが違います。

５（２）．最後の２個残りますので、すでに全部同じ重さであることがわかっている８個のうちのどれでも良いので１個を選び、最後の２個のうち１個ずつをはかって、釣り合わない方が重さが違います。

違っていたらすみません！

回答No.2

ymmasayan

この問題は有名な問題です。このサイトでも何回も出ています。参考ＵＲＬをどうぞ。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=89620

お礼

過去にあったんですねー。失礼しました。

回答No.1

deadline

答えは3回なんですが、私にも難しすぎて・・・（笑）。

↓を参考にしてみてくださいな。
『中学数学をなめてはいけないなぁ・・・』
http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=30706

参考URL：

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=30706

お礼

そのサイトみさせていただきました。
難しすぎて、私にはどうも・・・・