確率の定義と言葉の使いどころについて

質問

友人から次の問題を出されました。
Ｑ．数字１から６までが各面に振られた６面体を６回投げた時に２回だけ２の面が出たが、２がでる確率はいくつか？

私は上記の問題に対して、６面体の各面の出現率が分からない（正６面体？直方体？四角錐上端をカットした台形型？バランスは均一？..etc）ので
確率は出せないと回答したが友人は、次に２が出る確率を質問しているわけで無いと言い、試行回数６回中、２回発生したという
事実がありこの事についての確率だから答えは６分の２と言うのですが、確率の言葉の使いどころですけど友人の言い分は正しいのでしょうか？
（もし６回中６回全て２が出れば、その場合はもちろん２の出現確率は１と言ってます）

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

この辺は言い回しの難しいところですが, 数学的に「確率」というと「無限回試行」を前提にしなきゃならなかったりします.
「6面体を投げる」という行為を「ベルヌイ試行」と考えると, 「2 の出る回数」は二項分布に従います. いま「6回投げたときに 2 が 2回出た」ということですが, これは「成功 (= 2 が出る) 回数の期待値」としての標本平均が 2/6 であることを意味します. この結果から母平均 (6面体を投げたときに 2 が出る確率) の「推定値」は 2/6 となりますが, あくまで「推定値」であって「真の値が 2/6 である」ことは意味しません. 端的にいえば「2 が出る確率が 0.34」だとしても, 6回投げたら 2 が 2回出るのが最もありそうだよね.
まじめに検定とかやりだすと「95% 信頼区間でここまらここまで」っていわざるを得ないし, 計算していませんがこの範囲は想像以上に広いはずです. 手計算だと, 「2 が出る確率」を 1/2 と設定しても, 6回投げたときに「2 が 2回出る確率」は 20% を超えます.

お礼

ご回答ありがとうございます。
統計学に関しては、友人も私も学んではいませんが、友人の問題に対する回答としては、私の中のモヤモヤがかなり払拭できたと思います。問題文の「２が出る確率はいくつか？」は統計学の見方をすれば「２が出る確率の推定範囲はいくつか？」となるのかな？
友人の言う 2/6 は確率の値ではなく推定値ということですね。
また、この問題の場合は確率の値は固定値はでは無いと認識しました。

回答No.5

Ishiwara

＃４です。
> 確率は 2/6 と断定的に告げられたので困惑している次第です。
ご質問の趣旨は、よく理解できました。

一般の会話であれば「暗黙の省略」が許されます。
「明日の天気はどう？」
「雨です。」
も成り立ちます。もちろん明日の天気が断定できるわけでなく、厳密に言えば「雨である確率が高い、と気象庁は言っている」となります。

そのような条件を踏まえた上で、なお、数学の立場から友人の発言をチェックすれば（暗黙の了解の域を越えているように思うので）「数学の常道とは違う」ということができ、私の意見は質問者さんのご意見とほぼ同じです。

もともと「確率」とは抽象的な概念であって、無条件に実在のものと結びつけることはできないものです。正確に長さ１ｃｍの物体がないのと同様に、正確に1/6ずつの目が出るサイコロも存在しません。それらは、頭の中に抽象概念（モデル）して存在するだけです。

そのモデルを実在のものに当てはめる際に、人による違いが生じます。去年高額当選が出た宝クジ売り場に長蛇の列ができるのを、冷ややかに見る人もいれば、夢中になっている人もいるのは、それぞれに言い分があるからでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
皆さんに回答して頂いた情報を元に、統計的確率の定義に関してさわりだけ見てきました。試行回数を増やしていき一定の値に近づく場合は確率と定義できるようですが、問いかけの内容だと単に推定値としてしか言い表せないみたいですね。
友人は統計学を学んでいないので推定値といった言葉の代わりに確率といった言葉を用いたのか？、なにか誤解しての発言だと思われます。言葉で考えを伝える場合は、本人が意図している事と受けてが感じている事が違うことが多々あります。この場合も、それに当てはまるようです。ただ、私の様に何か変と感じるのが多数意見なのか少数意見なのかは、分かりませんが変と感じる方もおられる事に少しだけ安心しました。（自分だけが奇異な存在では無いということにです。）
次回、友人と会う時にでも確認したいと思います。

回答No.4

Ishiwara

友人のおっしゃることは正しいです。

ただし「確率は１/３である」という断定はできません。この場合は「不偏推定値が１/３である」という言い方をします。その推定値の誤差がどれくらいか、というのは別問題です。推定の前に振る回数をどんなに多くしても「推定」であることに変わりはありません。ただ、その誤差がどんどん小さくなるだけです。

「クラスの中からランダムに１人選んで身長を測ったら１７０ｃｍだった」という情報しかないときに「クラス全員の平均身長」を「不偏推定」すれば、１７０ｃｍとなります。Ａ・Ｂ・Ｃ、３人の判定員が、非常に多くのクラスについて同様の推定を行うとします。Ａは、常に得られた１人の身長に５を加えて答えとし、Ｂはそのままの値を答えとし、Ｃは５を引いて答えとします。多数回の試行の結果を比較すれば、Ｂが正解に最も近くなります。それゆえ、Ｂの方法が最も良い推定方法であると言えます。

補足

ご回答ありがとうございます。
推定値に関しては#2さんの回答により少し理解できたと思うのですが、友人の発言の中には一切「推定値」なる言葉はなく全て確率と表現しています。
言葉の上で「確率」と表現してもこの場合は「推定値」として理解するものなのでしょうか？
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友人がもし「推定値はいくつか？」と聞いてきたなら、解答内容の 2/6 も受け入れられるのですが・・・
友人からは確率は 2/6 と断定的に告げられたので困惑している次第です。（友人も私も統計学は学んではおりません）
そのため、言葉の中に誤りがあるのか？（私が無知なだけかもしれませんが）を確認するために質問させて頂いております。

回答No.3

osu_neko09

推定0.062850～0.728660、というのはいかがでしょう。
確率0.062850でも６回中２回以上でる場合もありえるし、
確率0.728660でも６回中２回以下しかでない場合もありえる、という計算です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
わざわざ確率の範囲を計算して頂きありがとうございます。
試行回数６回、期待した事象２回だとかなり広い範囲で確率が分布してるんですね。

回答No.1

akt-

この言い回しの通りに考えると、確かに６面体の形などを考える必要がありますが、数学的に考えるならばそのまま計算すれば良いと思います。

確率の定義は、
（確率）＝（求める事象）／（全体の事象）
と表記することができます。
６回中２回の確率ならば単純に2/6と答えたくなりますが、それは間違いです。ここでの全体の事象とは６面体を６回投げたということではなく、１回投げると６パターンのことが予測されることを６回繰り返すと言うことです。ですから、６を６回掛けたもの（46656）が全体の事象となります。求める事象は２(１種類)が２回と１or３～６(５種類)が４回出るパターンを調べます。（答えは省略します。）

分かっているとは思いますが、友人の言い分で６面体を１回だけ投げた場合を考えると、何が出ても確率は１になってしまいますよ…確率は1/6です。（もし３が出れば３の出現確率が１といったようになってしまう）

確率というのは何に着目して考えるかで値が全く違ってくる問題なので、問題の意図を正しく読み取れるかどうかで解けるかどうかが決まります。
（私は理系で計算も得意ですが、確率だけは苦手です。国語力がないので文章の意味を間違えて解いたことが何度もあります。）

長々と説明しましたが簡単に言うと、友人の考え方はダーツを６回投げて２回だけ的に当たった、ということと同じ考え方なのです。
ダーツの１回の事象では的に当たるか当たらないか（ここでは点数は無視）の２通りですが、６面体では１～６の数字の６通りの事象があるということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
友人からの問いの「２がでる確率はいくつか？」の解釈ですが、おそらく「６回中２が２回でる確率はいくつか？」ではなく
「１投したときに２がでる確率はいくつか？」だと思われます。
#2さん、#3さんのご回答頂いた内容を見ると統計学寄りの問題の様ですね。
頂いた回等を見る限り、いずれにせよ固定値で 2/6 はありえないですよね。