確率

質問

確率について、質問があります。
４０枚の異なるカードからなる束から、無作為に１０枚のカードを引くという試行を繰り返し行う（次の試行を行うときは引いた10枚は束に戻し、40枚の束からまた無作為に10枚を引く。）ときに、すでに引いたことのあるカードが10枚中５枚以上になる確率が５０％以上になるのは、何回目になるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.6

osu_neko09

私の考え方が違うのかな？大量の人間を集めて、同様の操作をさせたとしますね。「すでに引いたことのあるカードが10枚中５枚以上になったら、手を上げてください」と伝えておきます。
最初の試行で、１０枚のカードに印がつきます。
２回目の試行で、すでに引いたことのあるカードが10枚中５枚以上になる確率が少しあります。なので何人かは手を上げますが、この、手を上げた人たちに対して、３回目の操作をさせる前に、どちらの指示を出しますか？
１．「カードを引かずに、手をあげたままにしてください」
２．「引いたカードに印をつけて、もう一度カードを引いてください」

回答No.5

20080715

＞以下の部分について、補足説明いただければ幸いです。

R(k,n)がなぜこのような形に書けるのかを説明します。

40枚のカードうちから n 枚を選ぶ方法がC(40,n)通りあり、
さらにこのC(40,n)通りの各々について、n枚のカードの各々が過去の(k-1)回
の試行で少なくとも1回引かれているような方法がa(n)通りあるとします。
そうすると、R(k,n)=C(40,n)*a(n)/(C(40,10))^(k-1) と書けます。
後はa(n)がわかればいいです。

(k-1)回目までの試行で、n枚以外の(40-n)枚のカードを全く引かないような
引き方は全部で(C(n,10))^(k-1)通りだけあります。この(C(n,10))^(k-1)通り
のうち、n 枚のカードの中の特定の t 枚のカードが全く引かれていないような
ものが何通りあるのかを考え、これが b(t) 通りあるものとします。
(このとき、特定のt枚以外の残りの(n-t)枚の個々のカードについては、
引かれていようとなかろうと考えなくてもいいことに注意してください。)
(k-1)回連続して t 枚のカードは全く引かず、残りの(n-t)枚の中から
10枚を引くわけですから、b(t)=(C(n-t,10))^(k-1) です。
n 枚のカードの中から特定のt枚を選ぶ方法はC(n,t)通りだけあることを
考えれば、包含と排除の原理より、
a(n)=Σ[t=0,n]C(n,t)*((-1)^t)*b(t)
=Σ[t=0,n]C(n,t)*((-1)^t)*(C(n-t,10))^(k-1)
となります。
(「包含と排除の原理」がいったいどのようなものなのかについては、
web上で調べてもらえばわかると思います。たとえば次のページなど
がわかりやすく説明してあると思います。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/number4.htm)
a(n)を先ほどのR(k,n)の式に代入して、
R(k,n)
=C(40,n)*Σ[t=0,n]C(n,t)*((-1)^t)*(C(n-t,10))^(k-1)/(C(40,10))^(k-1)
=C(40,n)*Σ[t=0,n]C(n,t)*((-1)^t)*(C(n-t,10)/C(40,10))^(k-1)
が得られます。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/number4.htm

回答No.4

20080715

＞すでに引いたことのあるカードが10枚中５枚以上になる確率が５０％以上になるのは、
＞何回目になるのでしょうか？

4回目の試行で初めて10枚中５枚以上になる確率が50％以上になります。

k回目の試行で、すでに引いたことのあるカードが10枚中5枚以上になる確率を
P(k)とします。
P(k)≧1/2 となるような最小のkが求める答えです。

(k-1)回目(k>1) の試行を終えた時点で、40枚のカードのうち、
ちょうど n 枚 (10≦n≦40)だけが既に引いたことあるカードである確率を
R(k,n)とします。
また、k回目の試行で10枚のカードを引いたとき、その10枚のうちの
ちょうど m 枚のカードだけが既に引いたことのあるカードである確率を
Q(k,m)とします。

P(k)をkを使って表す式をつくります。
P(k)=Σ[m=5,10]Q(k,m) であり、
Q(k,m)=Σ[n=m,40]R(k,n)*(C(n,m)*C(40-n,10-m)/C(40,10)) です。

後はR(k,n)をk,nを使って表せば、P(k)の式が完成します。
R(k,n)は包含と排除の原理を使えば、次のように書けます。
R(k,n)=C(40,n)*Σ[t=0,n]C(n,t)*((-1)^t)*(C(n-t,10)/C(40,10))^(k-1).
よって、
P(k)=
Σ[m=5,10]Σ[n=m,40](C(40,n))*(Σ[t=0,n]C(n,t)*((-1)^t)*((C(n-t,10)/C(40,10))^(k-1)))*(C(n,m)*C(40-n,10-m)/C(40,10))
=(1/C(40,10))^k*Σ[m=5,10]Σ[n=m,40]Σ[t=0,n]C(40,n)*C(n,t)*((-1)^t)*(C(n-t,10)^(k-1))*C(n,m)*C(40-n,10-m)
となります。

この式を使ってP(k)を計算します。
P(2)=1622063/32602328 =0.04975…,
P(3)=979919927220593/2125823582039168 =0.46096…,
P(4)=6670535729905828721299/8153740904914807527424 =0.818095…

補足

ご回答いただきありがとうございます。
以下の部分について、補足説明いただければ幸いです。

＞R(k,n)は包含と排除の原理を使えば、次のように書けます。
＞R(k,n)=C(40,n)*Σ[t=0,n]C(n,t)*((-1)^t)*(C(n-t,10)/C(40,10))^(k-1).

よろしくお願いします。

回答No.3

osu_neko09

以下、計算結果を示します。
（５枚）は「すでに引いたことのあるカードが10枚中５枚以上になる」の意味です。
(2)回目の試行後
(合計)=847660528
(５枚)= 42173638
確率:0.049

(3)回目の試行後
(合計)=1076017653276847424
(５枚)= 714698899811981084
確率:0.664

ソースは参考ＵＲＬのブログ記事に示しました。

参考URL：

http://blog.goo.ne.jp/osu_neko_runway09/e/49ac4a419d6f4d9df719f0ced24b7062

お礼

ご回答いただきありがとうございました。
計算結果やソース参考になりました。

ところで、３回目の試行後の確率が、20080715さんのご回答と異なっていますが、なぜなんでしょか。。

回答No.2

osu_neko09

これは面倒な問題ですね。
40枚中a枚のカードに印のついている状態を、M(a)と定義します。
初期状態はM(10)=1,M(x:x>10)=0です。
10枚中、印のついたカードをx枚引いてくる確率より、試行を行なうと、M(a)から以下の確率で遷移します。
(x)C(a) * (10-x)C(40-a) / 10C40　

また、10枚中、印のついたカードをx枚引いてきたのですから、印のついたカードが(10-x)枚増えて、(a+10-x)枚になります。
ですので移動先は　0<=x<=4　の場合M(a+10-x)　、　5<=x　の場合M(40)です。
ただしM(40)からは確率1でM(40)に遷移するとします。

これを解けばいいと思います。が、手計算じゃ無理ですねぇ。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。

手計算はきついので、自動計算してくれるものを利用してみようと思います。

回答No.1

Kules

計算が激しくなりそうですが、
＞すでに引いたことのあるカードが10枚中５枚以上になる確率が５０％以上になるのは
と
＞何回目になるのでしょうか
は別に考えた方がよいと思われます。
ということで問題を少し変えて、前半部分だけを考えると、
40枚の異なるカードがあって、その中のx枚に印がついている。この中から無作為に10枚の
カードを引いた時、印のついたカードを５枚以上引く確率は50％以上であった。この時xはいくらか。

をまず求める必要があると思います。Cの含まれる計算なのでそんなに楽ではないと思いますが。

xが求まったら、ｘ枚に印をつけるには最低何回問題の試行を行えばいいかを考えます。
例えばxが25だとすると、最低3回で25枚に印をつけることができます。(１回目10枚、２回目10枚、３回目５枚以上)
また、最高４回で25枚に印が付きます（１回目10枚、２回目６枚、３回目６枚、４回目３枚以上）

上のように何回目かという値には幅が出そうなので、最低の方を答えにするか最高の方を答えにするかは問題のニュアンスによってかわってくると思います。
以上、参考になれば幸いです。