サイクロイドは円を転がす…じゃあ楕円を転がしたら？

質問

サイクロイドはご存知の通り、直線上を円が転がったときの円周上の定点が描く軌跡です。では、円でなく楕円を転がしてみたらどうなるのでしょうか。自力で媒介変数表示にチャレンジしたのですが、行き詰ってしまいました。どなたかわかる方がいらっしゃったら、教えていただきたいです。よろしくお願いします。

また、エピサイクロイドとハイポサイクロイドの定円を楕円にしてみたら…という疑問もあります。こちらのほうも、わかる方がいらっしゃったら教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

alice_38 · ベストアンサー

やってみましたが、何だか大変です。
楕円 x~2/a~2 + (y-b)~2/b~2 = 1 を
滑らないように x 軸正方向に転がした時、
楕円周上の一点が描く軌跡は、
X/a = ∫[0≦φ≦θ] Δ dφ -｛ (ε~2) sinθ cosθ + (1-ε~2) sinθ ｝/Δ
Y/a =｛√(1-ε~2)｝(1 - cosθ)/Δ
ただし
ε = √｛ 1-(b/a)~2 ｝
Δ = √｛ 1 - (ε~2)(sinθ)~2 ｝
となります。
導出過程は、書く気が興りません。

お礼

回答ありがとうございます。

なんだかすごい式になりましたね。
解読し、自分でもその式が出来るようにチャレンジしてみます。

回答No.4

kabaokaba

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/delaunay.htm
↑
ここはご存知？

回答No.3

Knotopolog

ご参考になるかどうか分かりませんが，数学辞典 第四版の
282ページに以下のような記述があります．

底線 C が直線，転曲線 C' が楕円または双曲線，極 X が C' の
焦点である場合のルーレットを Delaunay の曲線（Delaunay’s curve）
という（図25）．
Delaunay の曲線を底線 C のまわりに回転させてできる曲面は
平均曲率一定（≠0）となる．（p.282 数学辞典 第四版）

図25 をここに描けないのは残念ですが，楕円が直線上を転がっている絵があります．
因みに，「 Delaunay の曲線」は 「ドロネーの曲線」と読むのだと思います．
ドロネーはフランス人です．

お礼

回答ありがとうございます。

数学辞典、確認してみます。

回答No.2

Ishiwara

式を立てることは、比較的容易だと思いますが、解くのはたいへんです。たぶん、初等数学では手に負えない、積分または級数の形になります（初等数学とは高校までの数学で、高等数学は大学の理数系で学びます）。

「楕円の面積」はとても簡単なのですが「楕円の周」は非常に難しい数学になります。ましてそのサイクロイドは、とても大変だと思います。もし理論ができれば、機械設計上応用面があるかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。

やはり積分の形が出てきますよね。
そこからまた少し式をいじりたいと思っていたので…挫折です。

とても参考になりました。ありがとうございます。