行列式があと一歩で解けそうです

質問

次の行列式を計算せよ。
|1 a a^2 a^3|
|1 b b^2 b^3|
|1 2a 3a^2 4a^3|
|1 2b 3b^2 4b^3|
…本の答えは-ab(a-b)^4となっています。
一度、物凄い回りくどい方法で解いたのですが、ついさっき、もっと効率的な方法を見つけましたが、あと一歩のところで答えに辿り着けません。
間違いの指摘をお願いします:

第3列から第1列を引きます。
第4列から第2列を引きます。
|1 a a^2 a^3|
|1 b b^2 b^3|
|0 a 2a^2 3a^3|
|0 b 2b^2 3b^3|
第1列から第3列を引きます。
第2列から第4列を引きます。
|1 0 -a^2 -2a^3|
|1 0 -b^2 -2b^3|
|0 a 2a^2 3a^3|
|0 b 2b^2 3b^3|
余因子展開
(1)*(-1)^2*
|0 -b^2 -2b^3|
|a 2a^2 3a^3|
|b 2b^2 3b^3|
+(1)*(-1)^3*
|0 -a^2 -2a^3|
|a 2a^2 3a^3|
|b 2b^2 3b^3|
前項の第3列に、第1列*2を足します。
後項の第2列に、第1列*2を足します。
|0 -b^2 -2b^3|
|a 2a^2 3a^3|
|b 0 -b^3|
-
|0 -a^2 -2a^3|
|a 0 -a^3|
|b 2b^2 3b^3|
更に余因子展開
(a)*(-1)^3*
|-b^2 -2b^3|
|0 -b^3|
+(b)*(-1)^4*
|-b^2 -2b^3|
|2a^2 3a^3|
-(a)*(-1)^3*
|-a^2 -2a^3|
|2b^2 3b^3|
+(b)*(-1)^4*
|-a^2 -2a^3|
|0 -a^3|
=(中略)
=a^5b + 4a^4b^2- 6a^3b^3 + 4a^2b^4 + ab^5
=ab(a^4 + 4a^3b - 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)
…になりましたが、(a^4 + 4a^3b - 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)は(a-b)で割れそうにありません。
どこで間違えてしまったのでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

2回目の余因子展開で最後の項の符号を間違えています. ここは
((a)*(-1)^3*... + (b)*(-1)^4*...) - ((a)*(-1)^3*... + (b)*(-1)^4*...)
という形になるはずです.
ただ, 余因子展開が終わった時点では, 例えば (最初の余因子から出てくる) ab^5 の項は係数が -1 になります. つまり「(中略)」の部分でも間違えているはずです.

お礼

正にご指摘通りでした。
書いている時点では
{(a)*(-1)^3*... + (b)*(-1)^4*...} - {(a)*(-1)^3*... + (b)*(-1)^4*...}
の形式になっていたのですが、次の行で-の記号が後項に反映されていませんでした。
一つ一つ展開していった結果、
-ab{b^4 + ab^2(3a-4b) - a^2b(4a-3b) + a^4}
になり、
{b^4 + ab^2(3a-4b) - a^2b(4a-3b) + a^4}
の部分は
(a-b)^4
になりました。
こんなに長い質問に回答してくださって、ありがとうございました！