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数列の問題
数列の問題のようなんですけど十分考えましたが全く分かりません。 誰か解ける人がいたらといてくれませんか? お願いします θはcosθ=1/3かつ0<θ<π/2をみたす実数とする (1)自然数kに対して cos(k+1)θ=2/3coskθ-cos(k-1)θ が成り立つことを示せ (2)数列{Ak}を A0(ゼロ)=1 A1=1 Ak+1=2Ak-9Ak-1 により定義する このときすべての自然数kに対して Ak=3のk乗coskθ であること、およびAkは整数であり3の倍数ではないことを示せ (3)θ/πは無理数であることを示せ ほんとに困ってます よろしくお願いします
- va_taka
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- nag0720
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(3) θ/π=n/m とすると、 2mθ=2nπ A(2m)=3^(2m)cos(2mθ)=3^(2m)cos(2nπ)=3^(2m) ・・・・・・ 矛盾
- naniwacchi
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(1)と(2)までですが。 (3)は定番の背理法だと思うのですが。 (1) cos(k+1)θと cos(k-1)θを加法定理で分解して、(左辺)-(右辺)を計算します。 cosθ= 1/3を代入することで、きれいに証明できます。 (2) ・A[k]の形をそのまま代入すれば、漸化式は満たすことが示せます。 ・A[0]、A[1]がともに 1で整数ですので、帰納法より A[k]も整数であることが示せます。 ・A[k]が 3の倍数でないことを示すのは、次のように考えました。 A[k]=(3の倍数)+1 or (3の倍数)+2とおくと 漸化式が A[k+1]= 2* A[k]- (3の倍数)という形をしているので、 A[k+1]は、(3の倍数)+2 or (3の倍数)+1となります。 (3) A[k]が 3の倍数でないことあたりを使うと思うのですが。
- debut
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(1)をやってみました。 数学的帰納法。 k=1のとき、 cos2θ=2*(1/3)^2-1=-5/9 2/3cosθ-cos0=4/9-1=-5/9 で成り立つ k=mのとき成り立つとすると cos(m+1)θ=2/3cosmθ-cos(m-1)θ・・・A Aより、 cos(m-1)θ=2/3cosmθ-cos(m+1)θ cosmθcosθ+sinmθsinθ=2/3cosmθ-cos(m+1)θ よって、sinmθsinθ=1/3cosmθ-cos(m+1)θ・・・B cos(m+2)θ=cosmθcos2θ-sinmθsin2θ =-7/9cosmθ-2/3sinmθsinθ =-7/9cosmθ-2/3{1/3cosmθ-cos(m+1)θ} ←Bを入れる =2/3cos(m+1)θ-cosmθ よって、k=m+1について成り立つ ・・・
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