数列の問題

質問

数列の問題のようなんですけど十分考えましたが全く分かりません。
誰か解ける人がいたらといてくれませんか？
お願いします

θはcosθ＝１/３かつ０＜θ＜π/２をみたす実数とする
(１)自然数ｋに対して
　　　cos(ｋ＋１)θ＝２/３cosｋθ－cos(ｋ－１)θ
　　が成り立つことを示せ

(２)数列｛Ak}を
A0(ゼロ)=1 A1=1 Ak＋1＝２Aｋ－９Aｋ－１
　　により定義する　このときすべての自然数ｋに対して
　　　　Aｋ＝３のｋ乗cosｋθ
　　　であること、およびAkは整数であり３の倍数ではないことを示せ

(３)θ/πは無理数であることを示せ

ほんとに困ってます
よろしくお願いします

回答No.3

nag0720

(３)
θ/π=n/m
とすると、
2mθ=2nπ
A(2m)=3^(2m)cos(2mθ)=3^(2m)cos(2nπ)=3^(2m) ・・・・・・ 矛盾

回答No.2

naniwacchi

(1)と(2)までですが。
(3)は定番の背理法だと思うのですが。

(1)
cos(k+1)θと cos(k-1)θを加法定理で分解して、(左辺)-(右辺)を計算します。
cosθ= 1/3を代入することで、きれいに証明できます。

(2)
・A[k]の形をそのまま代入すれば、漸化式は満たすことが示せます。
・A[0]、A[1]がともに 1で整数ですので、帰納法より A[k]も整数であることが示せます。
・A[k]が 3の倍数でないことを示すのは、次のように考えました。
A[k]=(3の倍数)+1 or (3の倍数)+2とおくと
漸化式が A[k+1]= 2* A[k]- (3の倍数)という形をしているので、
A[k+1]は、(3の倍数)+2 or (3の倍数)+1となります。

(3)
A[k]が 3の倍数でないことあたりを使うと思うのですが。

回答No.1

debut

(1)をやってみました。
数学的帰納法。
k=1のとき、
cos2θ=2*(1/3)^2-1=-5/9
2/3cosθ-cos0=4/9-1=-5/9　で成り立つ
k=mのとき成り立つとすると
cos(m+1)θ=2/3cosmθ-cos(m-1)θ・・・Ａ
Ａより、
cos(m-1)θ=2/3cosmθ-cos(m+1)θ
cosmθcosθ+sinmθsinθ=2/3cosmθ-cos(m+1)θ
よって、sinmθsinθ=1/3cosmθ-cos(m+1)θ・・・Ｂ

cos(m+2)θ=cosmθcos2θ-sinmθsin2θ
=-7/9cosmθ-2/3sinmθsinθ
=-7/9cosmθ-2/3{1/3cosmθ-cos(m+1)θ}　←Ｂを入れる
=2/3cos(m+1)θ-cosmθ
よって、k=m+1について成り立つ
・・・